1) INTRODUZIONE
La caratteristica di direttività di un sistema acustico indica come varia la sensibilità di ricezione con il variare della direzione di provenienza dell'onda sonora.
Se la sensibilità è la massima possibile in una direzione e diminuisce molto rapidamente con il variare di essa si dice che la base ricevente ha una buona direttività, cioè presenta una direzione preferenziale d'ascolto.
La direttività di un gruppo di sensori, ottenuta sommando i contributi di tensione generati dai singoli idrofoni opportunamente ritardati, è governata da leggi matematiche che consentono di calcolare l'andamento della loro somma in funzione di diverse variabili quali:
le dimensioni, la frequenza, la larghezza della banda delle frequenze, l'angolo di provenienza dell'onda acustica rispetto all'asse geometrico della base, il numero dei sensori che la costituiscono.
In questa pagina tratteremo delle leggi sopra citate e della loro applicazione pratica in diversi casi che possono presentarsi nell'uso corrente.
Il tema relativo al guadagno di direttività delle basi idrofoniche sarà discusso in una pagina separata da redarre in seguito.

2)Il dipolo
La base idrofonica più semplice è il dipolo, costituto, come definito dal nome, da due sensori omnidirezionali ( i1 - i2 ) così come mostrato in figura 1; in essa s'individuano la congiungente ( D ) tra i due, l'asse perpendicolare ad essa passante sulla mezzeria e il circuito sommatore che consente l'estrinsecazione della caratteristica di direttività della coppia d'idrofoni.



In figura 1 il raggio acustico di un'onda sinusoidale forma con l'asse della base un angolo alfa dal quale dipende l'andamento della caratteristica di direttività; a causa dell'inclinazione del raggio l'idrofono i2 è colpito dall'onda prima di i1 che la riceve con un ritardo ( r ) pari a :
r = D Sen (alfa) / c
dove c è la velocità del suono nell'acqua assunta per i calcoli ( c = 1530 m/Sec )
Se indichiamo con
s2 = Sen (w t)
la tensione dovuta al segnale acustico che colpisce i2, il sensore i1, che la riceve con un ritardo ( r ) avrà una tensione s1 pari a
s1= Sen [ w ( t + r ) ]
dove w = 2 p f
p = 3.14
f = frequenza del segnale acustico
La funzione di direttività del dipolo viene espressa mediante la somma Rs dei due segnali che sono generati da i1 ed i2 ; detta somma può essere espressa con:

Rs = s1 + s2 = Sen ( w t + w r ) + Sen ( w t )

Da un punto di vista puramente matematico la funzione Rs può considerarsi la somma di due due tensioni sinusoidali, l'una, s2', anticipata nel tempo del valore r/2, l'altra, s1', ritardata di r/2, cioè :

Rs = s1' + s2' = Sen ( w t - w r/2 ) + Sen ( w t + w r/2 )

applicando le formule di prostaferesi abbiamo:

Rs = Sen wt Cos wr/2 - Cos wt Sen wr/2 + Sen wt Cos wr/2 + Cos wt Sen wr/2 =

= Cos (wr/2) 2 Sen wt

Lo sviluppo porta ad un segnale sinusoidale di pulsazione w, come s1 ed s2, la cui ampiezza di picco (doppia di s1 ed s2) è però governata dalla funzione Rd = Cos (wr/2) (detta caratteristica di direttività).
Infine sviluppando Rd con il valore di r, calcolato in precedenza, si ha:
Rd = Cos (wr/2) = Cos [ p f D Sen(alfa) / c ]

3)Rappresentazione grafica di Rd del dipolo
Il grafico di Rd mostra come varia l'ampiezza di Rs, indipendentemente dalla sua fase, con il variare di alfa.
La rappresentazione grafica della caratteristica di direttività Rd del dipolo, in valore assoluto, è computata per esempio assumendo:
f = 1000 Hz
D = 1 m
c = 1530 m/Sec.
alfa = variabile da 0 a 180 °
Il grafico secondo |Rd| = |Cos [ p f D Sen(alfa) / c ]| è riportato in figura 2:



Nella figura si osserva:
Il massimo della somma Rs è posizionato per alfa = 0° e per alfa = 180° dato che il dipolo non è in grado di discriminare se la sorgente è da un lato o dal lato opposto.
L'ampiezza di Rs è zero per alfa = 52° e per alfa = 133°.
L'ampiezza di Rs risale, in questo caso, con un picco di circa 0.45 per alfa = 90°.
Il picco più ampio della curva è detto "lobo principale", i picchi inferiori sono detti "lobi secondari".
Il lobo secondario si modifica in ampiezza al variare di f e/o D ; se il rapporto ( D f ) / c = 0.5 il lobo secondario scompare così come mostra la figura 2a tracciata per f = 765 Hz; questa e la condizione migliore per l'impiego del dipolo.



I diagrammi mostrano chiaramente che il dipolo non è in grado di determinare univocamente la direzione della sorgente sonora a causa, sia dell'ambiguità tra i lati, sia per la presenza della parziale risalita di livello (lobo secondario) se ( D f )/ c è diverso da 0.5.
Il problema relativo all'ambiguità tra i lati può essere risolto, parzialmente, ponendo un adatto schermo acustico dal lato che non è deputato alla ricezione dei segnali; lo schermo non elimina totalmente i segnali acustici non desiderati ma li attenua più o meno in funzione delle sue dimensioni e della sua consistenza.
Se il dipolo è schermato presenta la sua massima sensibilità sulla perpendicolare al segmento D,
per alfa = 0°, ovvero è puntato "naturalmente" per la direzione 0°, in altri termini: la "direttività naturale" del dipolo è sempre indirizzata per 0°.
La dizione "direttività naturale" diversifica il comportamento di una base idrofonica rispetto alla "direttività artificiale" che, come vedremo in seguito, si riferisce a strutture appositamente compensate affinché il massimo della curva di direttività sia indirizzato su direzioni diverse da 0°.
L'importanza di questa semplice struttura consiste nell'essere il pilastro fondamentale dal quale sono state sviluppate le cortine multiple di sensori delle quali si tratterà in seguito.

4)Cortina lineare multipla di sensori idrofonici
La cortina lineare multipla di sensori è strutturata secondo un segmento sul quale sono allineati n idrofoni da (i1) ad (in) così come illustrato in figura 3:



In essa s'individuano gli idrofoni allineati a distanza d tra due contigui, l'asse perpendicolare sulla mezzeria dell' allineamento e il circuito sommatore che consente la somma dei contributi di tensione sinusoidale forniti dagli n idrofoni.
Attraverso un processo matematico molto più complicato di quello esposto in 3) si ricava l'espressione per il calcolo del segnale Rsn (somma di n segnali idrofonici sinusoidali) di n sensori la cui ampiezza di picco è governata da Rdn secondo l'algoritmo sotto riportato:



La differenza tra il dipolo e la cortina si evidenzia per la ragione che nella seconda i lobi secondari sono tanto più ridotti tanto più è elevato il numero n degli idrofoni; resta comunque il fatto che anche la cortina se non è provvista di adatto schermo acustico genera ambiguità tra i lati.
Se la cortina idrofonica è schermata la "direttività naturale" è indirizzata per 0°.
La riduzione dell'ampiezza dei lobi secondari è sempre pagata in termini di allargamento del lobo principale.

5)Rappresentazione grafica di Rdn della cortina
La rappresentazione grafica di Rdn è svolta con l'implementazione dell'algoritmo indicato in 4) in apposito programma in VB. Per evidenziare al meglio il vantaggio della cortina assumiamo come variabili di calcolo le stesse utilizzate in 3) oltre ad n e d :
n =6 numero dei sensori
landa = c / f
f = 1000 Hz
D = 1 m
d = D/5 = 0.2 m distanza tra i sensori
c = 1530 m/Sec.
alfa = variabile da 0 a 180°
Il risultato del calcolo è visibile nel grafico di figura 4:



Il massimo della somma Rs, determinato da Rdn, è posizionato per alfa = 0° e per alfa = 180° dato che la cortina non è in grado di discriminare se la sorgente è da un lato o dal lato opposto.
L'ampiezza di Rs risale dolcemente a 0.25 per alfa = circa 90° e non crea ambiguità dato che non presenta lobi secondari.
Se la cortina idrofonica di figura 3 fosse dotata di schermo acustico, quasi tutte le cortine lo sono, la sua curva di direttività naturale si presenterebbe, molto approssimativamente, come mostrato in figura 5 dove al posto dell'ambiguità si è formato un lobo secondario.



E' interessante confrontare le curve di figure 2 e 4 per evidenziare le notevoli differenze tra il comportamento del dipolo e quello della cortina a 6 idrofoni; in figura 6 sono riportate le due curve di direttività per comparazioni fini.

6)La cortina lineare multipla in banda di frequenze
La possibilità di calcolo della caratteristica di direttività di una cortina idrofonica lineare, in banda di frequenze, si deve al lavoro di STENZEL (p14) che con un studio complesso è giunto alla formulazione dell'algoritmo di calcolo che viene di seguito riportato:



Dove:
n = numero degli idrofoni
d = L / ( n - 1 )
L = lunghezza della base in metri
X = ( 3.14 d f1 / c ) Sen (alfa)
f1 = frequenza inferiore della banda
f2 = frequenza superiore della banda
p = ( f2 - f1 ) / f1

In questo caso la tensione Rsn in uscita dal sommatore (figura 3) è la sommatoria delle n tensioni idrofoniche, distribuite nella banda f1-f2, la cui ampiezza massima è governata dall'algoritmo definito da Rdnw.
L'algoritmo in oggetto è stato implementato in VB per il tracciamento della direttività voluta.
La rappresentazione grafica della caratteristica di direttività Rdnw della cortina è computata per esempio assumendo:
n = 10
L = 1 m.
f1 = 1000 Hz
f2 = 7000 Hz
c = 1530
Il risultato del calcolo è mostrato nel diagramma di figura 7:



Il massimo della somma Rsn,determinato da Rdnw, è posizionato per alfa = 0° e per alfa = 180° dato che la cortina non è in grado di discriminare se la sorgente è da un lato o dal lato opposto.
L'ampiezza di Rsn decade rapidamente, da 1 per 0° a 0.45 per 18°, per poi scendere dolcemente fino a 0.12 per alfa = 90°.
Se la cortina è dotata di schermo acustico l'ambiguità a 180° non si verifica e l'andamento della direttività assume, con molta approssimazione. il profilo mostrato in figura 8 dove al posto sell'ambiguità si è formato un lobo secondario:



E' importante sapere che l'algoritmo impiegato per il calcolo di Rdnw può essere applicato anche per basi non rettilinee purché il profilo di queste sia ragionevolmente mediabile con una retta di "proiezione" così come indicato in figura 9; in questi casi la formula evita un computo molto laborioso basato sulle coordinate del singoli idrofoni della cortina non rettilinea, il risultato, pur con le inevitabili imprecisioni, è comunque indicativo del comportamento della nuova base.

7)La caratteristica di direttività artificiale
La caratteristica di direttività artificiale di una base idrofonica è l'attitudine a ricevere il segnale acustico su di una direzione diversa dall'asse stesso della cortina.
Nel caso di direttività naturale se la sorgente acustica ruota attorno alla base questa denuncerà, con il massimo livello di Rs o Rsn, la posizione dell'onda acustica per alfa = 0°.
Nel caso di direttività artificiale se la sorgente acustica ruota attorno alla base questa denuncerà, con il massimo livello di Rs o Rsn, la posizione dell'onda acustica per un valore prestabilito beta diverso da 0°.
La trasformazione della direttività di un dipolo da naturale ad artificiale si ottiene semplicemente aggiungendo apposito ritardo temporale fisso alla tensione generata da uno dei due sensori così come mostrato in figura 10:



Il ritardo introdotto deve essere dimensionato secondo l'espressione:
r = D Sen (beta) / c
dove :
r = ritardo espresso in Sec.
D = lunghezza del dipolo in m.
c = velocità del suono (1530 m/Sec.)
beta = angolo in cui formare il massimo di Rs o Rsn della direttività artificiale.
Se ad esempio vogliamo trasformare la direttività del dipolo da naturale ad artificiale, con l'orientamento del lobo principale per beta = 36°, il valore di r sarà:
r = 1m Sen (36°) / 1530 = 384 microSec.
Questa è, in via di principio, la strada che porta al dimensionamento dei "fasci preformati" ottenibili in questo caso con M sommatori al posto di uno e da M ritardatori tutti diversi tra loro.
L'uscita di ciascuno degli M sommatori rappresenterebbe un fascio di direttività artificiale indirizzato i uno degli M angoli stabilito dell'orizzonte.
Nel caso di cortine idrofoniche il procedimento per la costruzione della direttività artificiale è simile a quello utilizzato per il dipolo: si devono creare tanti ritardi, diversi tra loro, da assegnare a ciascuna delle tensioni degli idrofoni della cortina.

8)Un programma di calcolo per visualizzare le curve di direttività
Al fine di rendere gli argomenti trattati pù comprensibili è stato studiato un apposito programma in VB che consente di calcolare e visualizzare rapidamente i grafici di direttività di basi rettilinee definite dagli algoritmi illustrati in precedenza.
Con il programma in oggetto sono state tracciate tutte le curve mostrate nelle figure del testo quali:

Direttività naturale ed artificiale di un dipolo; sono richiesti :
la lunghezza D (preimpostata 1 m)
la frequenza f (preimpostata 1000 Hz)
l'angolo di puntamento beta del fascio di direttività artificiale (preimpostato 0°)

Direttività naturale ed artificiale di una cortina ; sono richiesti :
il numero n dei sensori (preimpostato n = 5)
la distanza d tra i sensori (preimpostata 0.2 m)
la frequenza f (preimpostata 1000 Hz)
l'angolo di puntamento beta del fascio di direttività artificiale (preimpostato 0°)

Direttività naturale ed artificiale di una cortina che lavora con segnali in banda di frequenze ; sono richiesti :
la lunghezza L della cortina (preimpostata 1 m)
il numero n dei sensori (preimpostato n = 6)
la frequenza inferiore della banda f1 (preimpostata 1000 Hz)
la frequenza superiore della banda f2 (preimpostata 3000 Hz)
l'angolo di puntamento beta del fascio di direttività artificiale (preimpostato 0°)

Il programma, utilizzabile cliccando su DIRlin.exe , presenta il pannello di controllo e grafica sotto riportato :



Sono disponibili sul pannello tre sezioni, ciascuna per le basi esaminate in precedenza, con le quali, cliccando su "Calcolo" si ottiene il grafico relativo ai dati iniziali preimpostati.
Ciascuna sezione ha il pulsante di "reset" e un "Check_Box" che consente, se il caso lo richiede, di eliminare la parte di curva che con la presenza dello schermo acustico verrebbe "attenuata"; ha inoltre i "TextBox" nei quali inserire i valori desiderati in sostituzione di quelli preimpostati.
Un "Check_Box" comune alle tre sezioni consente di tracciare i grafici voluti sovrapponendoli per eventuali controlli e/o paragoni.
Nella figura 11 la curva tracciata è relativa alla cortina che lavora in banda di frequenze e per la quale si è ipotizzata, con tutte le riserve del caso, la presenza dello schermo acustico.
Impostando nel TextBox " direzione fascio" un qualsivoglia valore di puntamento, tra 0 e 90°, per la trasformazione della direttività naturale in artificiale, si vedono i diagrammi delle direttività presentare il loro valore massimo in coincidenza del valore angolare inserito.

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