2)Caratteristica di direttività base circolare compensata
Prendiamo in esame la base circolare tracciata di seguito:



l'algoritmo che ne descrive la caratteristica di cui al titolo è imperniato sull'uso della funzione di Bessel ordine zero secondo la seguente espressione:

C(a) = Jo (Z)

computabile con l'integrale:



in cui:

z = [ (6.28318 d / landa ) Sen (a/2) ] (sub-variabile Z dipendente dalle caratteristiche della base)
dove:
landa = 1530/f ; con f = frequenza media geometrica della banda
d è il diametro della base
a è l'angolo di provenienza del suono rispetto all'asse della base (base compensata per a=0°)

e la variabile q è:
q = estremo d'integrazione variabile da 0 a 3.14159..

Il calcolo di c(a) si esegue in Vb, su P.C. mediante lo sviluppo di somme di prodotti, condotte, per ciascun angolo di puntamento a.
La routine computa sia la sub-variabile Z che caratterizza la base acustica in esame, sia la funzione di Bessel ordine zero.
Il calcolo della funzione c(a) è valido purché il numero d'idrofoni che compongono la base sia:

n >= (6.28 d /landa) + 2

3)La routine di calcolo per C(a)
La routine di calcolo per la caratteristica di direttività del cerchio compensato, riportata sul 2), è di seguito illustrata in linguaggio Visual Basic:

For a = 0 To asett Step 0.01 'inizio anello principale in funzione di a (gradi sessagesimali)

f1 = f1Hz

f2= f2Hz

f = Sqr(f1 * f2) 'calcolo della frequenza media geometrica

landa = 1530 / f 'calcolo di landa

d = dmetri ' diametro della base in metri

z = (6.28 * d / landa) * Sin((a / 2) * 3.14 / 180) 'calcolo della sub-funzione Z

'CALCOLO DELL'INTEGRALE DEFINITO PER LA FUNZIONE DI BESSEL ORDINE ZERO--> Jo
a1 = 0 'estremo inferiore campo d'integrazione

b1 = 3.14 'estremo superiore campo d'integrazione

s1 = 0.001 'incremento per il passo di calcolo (dq)

I1 = 0 ' azzeramento della memoria I1 ad ogni inizio anello

For X1 = a1 To b1 Step s1 'inizio anello secondario per il computo dell'integrale

Y1 = (1 / 3.14) * Cos(z * Cos(X1)) ' calcolo della funzione integranda

p1 = Y1 * s1 'prodotti tra Y1 e il dq

I1 = p1 + I1 'sommatoria progressiva dei prodotti

Next X1 'fine anello secondario per il computo dell'integrale

Next a ' fine anello principale

4)Esempio di calcolo per C(a) = Jo (Z)
Con l'ausilio di un tracciato cartesiano e delle istruzioni pset e circle si realizza un programma di calcolo e presentazione grafica che utilizza la routine illustrata in 3).

I dati relativi alla base circolare in esame sono :
numero degli idrofoni: n = 32
frequenza inferiore della banda: f1Hz = 1000
frequenza superiore della banda: f2Hz = 3000
diametro: dmetri = 1
settore angolare di calcolo: asett = 80°
essendo n = 32 è soddisfatta la condizione di cui al punto 2) per la validità dell'algoritmo:
n >= (6.28 d /landa) + 2

La curva di direttività risultante è riportata nel tracciato sottostante:




Il secondo metodo per il calcolo della C(a) = Jo (Z) può essere fatto, in modo semplice e senza P.C. , impiegando i tabulati delle funzioni di Bessel ordine zero disponibili nei manuali di matematica applicata.
In questo caso il computo è svolto per un numero limitato dei valori di (a), calcolando, per ciascuno di essi, la sub-variabile z = [ (6.28318 d / landa ) Sen (a/2) ] e associandovi i corrispondenti valori di Jo ricavati dai tabulati citati.
Il grafico della direttività che si ottiene è ovviamente un tracciato per punti, quale quello sotto riportato per 20 valori di (a).

5)Caratteristica di direttività base "circolare" secondo Stenzel
Il terzo metodo di calcolo per la direttività della base circolare compensata è di assimilarla ad un segmento sul quale sono proiettati gli idrofoni della circonferenza così come mostra la figura:



Dato che gli idrofoni proiettati non sono equidistanti tra loro il calcolo è approssimato ma ha il vantaggio di essere eseguito tra tutte le frequenze della banda.
Con il procedimento di paragrafo 3), invece, il calcolo è eseguito alla frequenza media geometrica degli estremi di banda è il risultato è meno aderente alla realtà.
L'algoritmo che descrive la caratteristica di direttività di un segmento in banda di rumore è, secondo Stenzel, è il seguente:




in cui, nominate con:
f1 = frequenza inferiore della banda
f2 = frequenza superiore della banda
L = lunghezza della proiezione della base
a = angolo di provenienza del suono rispetto all'asse della base
si pone:

n = numero degli idrofoni della base
d1 = L / (n-1) distanza tra due idrofoni
m = variabile di posizione ( da m =1 ad m = n-1)
p = (f2 - f1) / f1 variabile di banda
x = 3.14 * d1 * (f1 / 1530) * Sin(a) variabile funzione dell'angolo (a) e della geometria della base

Il calcolo di c(a) si esegue in Vb, su P.C. mediante lo sviluppo della funzione illustrata.
In questo caso il calcolo della funzione c(a) non ha nessuna limitazione di validità.

6)La routine di calcolo per C(a) secondo Stenzel
La routine di calcolo per la caratteristica di direttività della base proiettata riportata sul 5), è di seguito illustrata in linguaggio Visual Basic:

f1 = 1000 ' frequenza inferiore della banda

f2 = 3000 'frequenza superiore della banda

n = 16 'idrofoni in presa

L = 1 'm (lunghezza della base)

d1 = L / (n - 1) 'calcolo della distanza media tra gli n idrofoni

p = (f2 - f1) / f1 'coeff. richiesto da formula STENZEL

asett = settore angolare di calcolo

For a = 0 To asett Step 0.01 'anello principale per la variabile a°

x = 3.14 * d1 * (f1 / 1530) * Sin((a + 0.000001) * (3.14 / 180)) ' variabile con le caratteristiche della base

For M = 1 To (n - 1) 'anello secondario

b = (Sin(M * p * x)) / (M * p * x)

c = Cos((p + 2) * M * x)

d = (n - M)

e = (b * c * d)

K = K + e

Next M 'chiusura anello secondario

s = ((2 / (n ^ 2)) * K) + (1 / n)

t = Sqr(s)

K = 0

Next a ' chiusura anello principale

7)Esempio di calcolo per C(a) secondo Stenzel
Con l'ausilio di un tracciato cartesiano e delle istruzioni pset e circle, si realizza un programma di calcolo e presentazione grafica che utilizza la routine illustrata in 6).

I dati relativi alla proiezione della base in esame sono :
numero degli idrofoni: n = 16
frequenza inferiore della banda: f1Hz = 1000
frequenza superiore della banda: f2Hz = 3000
diametro: L = 1 m
settore angolare di calcolo: asett = 80°


La curva di direttività risultante è riportata nel tracciato sottostante:

8)Confronto tra i due grafici
Per un esame accurato dei comportamenti delle due procedure di calcolo è utile la visualizzazione contemporanea dei due diagrammi, quelli dei paragrafi 5) e 7) così come sotto illustrato:




Dal grafico si evince che le due curve sono praticamente coincidenti nell'intervallo tra a = 0° e a = 20° , intervallo nel quale l'ampiezza scende sotto i 3 dB.
Questo intervallo è già sufficiente, sia per il calcolo del guadagno della base, sia per gli eventuali studi sull'interpolazione tra i fasci.
Oltre i 20° le curve si diversificano; la curva blu ondula sotto lo zero a causa del fatto che il suo algoritmo è funzione di una singola frequenza, la curva rossa invece si mantiene sopra lo zero, in virtù del fatto che il suo algoritmo è definito in una banda di frequenze.
L'algoritmo più aderente alla realtà fisica è, senza ombra di dubbio, quello dovuto a Stenzel; che ha però la necessità di un calcolo laborioso; si sceglierà pertanto questo o l'altro metodo in base alle necessità di progetto pagando in un caso precisione limitata su piccoli intervalli angolari con il vincolo:
n >= (6.28 d /landa) + 2 ma semplicità di calcolo, oppure, precisione in tutto il settore angolare al prezzo di una maggior complessità di calcolo.





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