SONAR-INFO-p63
Geometria analitica (5°)
Calcolo dell'equazione di una circonferenza passante per tre punti e una sua tangente
1)Generalità 2)Algoritmi in V.B. per la circonferenza passante per tre punti
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già
utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di
altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione
di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa
interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati
non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico,
in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi
di geometria analitica in commercio.
La determinazione dell'equazione di una circonferenza passante per tre punti è un'operazione
caratteristica di geometria analitica che richiede la soluzione di un sistema di primo grado
a tre incognite tedioso da risolvere; con l'impiego del file eseguibile disponibile su questa
pagina la cosa si svolge in frazioni di minuto e si può ripetere per innumerevoli valori
delle coordinate di detti punti.
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:
-coordinate singoli punti : (X1; Y1), (X2; Y2),(X3; Y3),
-calcolo dei coefficienti a; b; c dell'equazione del cerchio X^2 + Y^2 + aX +bY + c = 0:
con il sstema:
X1^2 + Y1^2 + aX1 + bY1 + c = 0
X2^2 + Y2^2 + aX2 + bY2 + c = 0
X3^2 + Y3^2 + aX3 + bY3 + c = 0
implementato in V.B secondo Cramer:
X1 = 1
Y1 = 1
k1 = -(X1 ^ 2 + Y1 ^ 2)
X2 = 4
Y2 = -1
k2 = -(X2 ^ 2 + Y2 ^ 2)
x3 = -2
y3 = -2
k3 = -(x3 ^ 2 + y3 ^ 2)
d1 = X1 * Y2 + Y1 * x3 + X2 * y3
d2 = Y2 * x3 + X1 * y3 + Y1 * X2
delta = d1 - d2
da1 = k1 * Y2 + k3 * Y1 + k2 * y3
da2 = k3 * Y2 + k1 * y3 + k2 * Y1
deltaa = da1 - da2
db1 = X1 * k2 + k1 * x3 + k3 * X2
db2 = k2 * x3 + k3 * X1 + k1 * X2
deltab = db1 - db2
dc1 = X1 * Y2 * k3 + Y1 * k2 * x3 + k1 * X2 * y3
dc2 = k1 * Y2 * x3 + X1 * k2 * y3 + Y1 * X2 * k3
deltac = dc1 - dc2
a = deltaa / delta
b = deltab / delta
c = deltac / delta
-calcolo del raggio r:
r = sqr((a/2)^2 + (b/2)^2 - c)
-calcolo coordinate del raggio
Xc = - a /2 ; Yc = - b/2
-calcolo equazione tangente su P3
m = (Y3 - Yc) / (X3 - Xc)
n = Y3 - m * X3
Y = m * X + n
mt = -1 / m
Ytan = mt * X - mt * X3 + Y3
3)Come si presenta la schermata del file eseguibile 4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo 5)Note
La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1,
in essa s'individuano:
-il tracciato cartesiano
-tre coppie di TextBox per l'inserzione delle coordinate di; P1 (X1;Y1), P2 (X2;Y2), P3 (X3;Y3)
-un singolo TextBox per l'inserzione della scala del tracciato cartesiano
-tre pulsanti per:
1) comando inserzione coordinate punti e loro tracciamento
2) comando per il calcolo circonferenza e tracciamento
3) comando per il calcolo tangente alla circonferenza per P3
-l'equazione della circonferenza sotto la quale compaiono i suoi coefficienti a; b; c
-le coordinate Xc; Yc del centro e il valore del "r" del raggio
-l'equazione completa della retta tangente la circonferenza in P3
In questo paragrafo sono proposti due esercizi grafico numerici la cui risoluzione è basata
sul file eseguibile (eserc.C3p) .
In entrambi i casi si risolve il problema classico del calcolo e tracciamento di una
circonferenza passante per 3 punti, con l'aggiunta del calcolo dell'equazione della tangente
passante per uno di questi.
Il primo esercizio, proposto da G. Biondina, è relativo ad una circonferenza passante per:
P1(3; 4), P2(-2; -1), P3(0; -5) vediamo la procedura:
1) si inseriscono le tre coppie di coordinate nei TextBox e il valore di fondo scala = 10
2) si preme il pulsante "Traccia punti" e si ottiene la schermata di figura 2 nella quale
compaiono in rosso i punti voluti.
3) si preme il pulsante "Circonferenza" e compare, come mostrato in figura 3:
il suo tracciato passante per i punti inseriti; l'equazione della circonferenza con il
dettaglio dei suoi coefficienti; a, b, c, delle coordinate del centro e la dimensione del raggio.
4) si preme il pulsante "Tang in P3" e compare la traccia della tangente con l'indicazione
della sua equazione completa.
Dopo il 4° passo al quale ha seguito figura 4 si possono variare a piacere una o più ordinate
lasciando le altre inalterate; dopo la ripetizione della procedura si ottengono così disposizioni
geometriche diverse.
Un secondo esempio coinvolge una serie di punti con coordinate molto grandi:
P1 (X1 = 127.3; Y1 = 59.6)
P2 (X2 = -57.8; Y2 = -123)
P3 (X3 = -251; Y3 = 45.7)
In questo caso il "fondo scala" dovrà essere adattato ad un valore pari che
risulti superiore, in valore assoluto, all'ordinata maggiore; nella serie dei valori sopra
indicati l'ordinata più grande in valore assoluto è X3 = -251 , questa può essere contenuta
ponendo il "fondo scala" uguale a 300 ricordando che in tal caso ciascuno dei quadretti
del reticolo assume il valore di 30.
Inseriti i valori indicati e seguendo la procedura illustrata per l'esercizio precedente,
dopo l'ultimo passo, si ottiene la schermata di figura 5.
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego
di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale
del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico
con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o
irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.
-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che
qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo
noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.