Geometria analitica (22°)
Le tangenti all'iperbole con centro nell'origine degli assi

1)Generalità
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

2)Algoritmi in V.B. per le tangenti all'iperbole con il centro sull'origine degli assi
Quando le coordinate del centro dell'iperbole sono coincidenti con l'intersezione degli assi cartesiani di riferimento si ha il caso più semplice per la soluzione del problema relativo alle rette, passanti per po, tangenti alla conica.
In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, il tracciamento di una data iperbole di fuochi " F1 = c "; " F2 = -c ", centro in " P(Xc = 0 ; Yc = 0)" e intersezione con l'asse delle ascisse in " +/- a " con la costruzione delle tangenti passanti per il punto esterno ad essa: po(Xo; Yo).
Il programma scrive inoltre l'equazioni delle due rette in gioco.
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:

-relazione di base:
b = Sqr(c ^ 2 - a ^ 2)
-equazione dell'iperbole con centro all'origine degli assi:
((X^2) / (a^2) ) - ((Y^2) / (b^2) ) = 1
-equazione dell'iperbole con l'esplicitazione di Y:
Y = +/- ( b / a) * Sqr ( x^2 - a^2 )
-funzioni per la grafica dell'iperbole:
k = x ^ 2 - a ^ 2
C1 = (b / a) * Sqr(k)
C2 = -(b / a) * Sqr(k)
-coordinate dei fuochi : F1 (X1 = c; Y1 = 0) ; F2 (X2 = -c; Y2 = 0)
-coordinate dei punti di intersezione asse X : P1 (X3 = a; Y3 = 0) ; P2 (X4 = -a; Y4 = 0)
-coordinate del punto di passaggio delle rette : po( xo; yo )
-equazione rette Y = m X + n e Y = m1 X + n1, passanti per po e tangenti all'iperbole
-calcolo delle tangenti e delle coordinate dei punti di contatto con il metodo dello sdoppiamento:
k1 = a ^ 2 * b ^ 2
k2 = a ^ 2 * yo
k3 = b ^ 2 * xo
A1 = b ^ 2 * k2 ^ 2 - a ^ 2 * k3 ^ 2
B1 = 2 * b ^ 2 * k1 * k2
C1 = b ^ 2 * k1 ^ 2 - k1 * k3 ^ 2
Y1 = (-B1 + Sqr(B1 ^ 2 - 4 * A1 * C1)) / (2 * A1)
X1 = (k1 + k2 * Y1) / k3
Y2 = (-B1 - Sqr(B1 ^ 2 - 4 * A1 * C1)) / (2 * A1)
X2 = (k1 + k2 * Y2) / k3
m = (Y1 - yo) / (X1 - xo)
n = -m * xo + yo
yt1 = m * x + n
m1 = (Y2 - yo) / (X2 - xo)
n1 = -m1 * xo + yo
yt11 = m1 * x + n1

3)L'impiego del file eseguibile
Il file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano il tracciato cartesiano e 5 caselle d'immissione dati con un pulsante d'avvio "Calcolo".
Nelle caselle "xo", "yo" si devono digitare i valori delle coordinate del punto di passaggio delle rette tangenti la curva.
Nella casella "F" l'ascissa dei fuochi
Nella casella "a" l'ascissa del punto di contatto dell'iperbole con l'asse x
Nella casella "Scala" il valore da assegnare al fondo scala del reticolo affinché possa contenere il tracciato completo: ellisse più tangenti da po.
Sotto la scritta " Equazioni delle tangenti " vengono presentate in forma esplicita le due equazioni calcolate.
Sono inoltre presentate in forma numerica le coordinate dei punti caratteristici di tangenza:
p1( X1; Y1 ) e p2( X2; Y2 )



Per ben evidenziare le variabili utilizzate queste sono riportate nel grafico espanso di figura 2

4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo viene proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile (eserc.iptanest) .
La soluzione del problema classico, sull'iperbole e le tangenti passanti per po, viene sviluppata in una frazione di minuto quando, altrimenti, il tempo di sviluppo potrebbe richiedere molto più lavoro.
Se ipotizziamo la ricerca delle tangenti, passanti per po(xo = 3; yo= -8), ad un' iperbole di centro nell'origine degli assi, con: F1 = +5; F2 = -5; a = 4
una volta inseriti i dati nelle apposite caselle della schermata di (eserc.iptanest), con valore di fondo scala uguale a 10, otteniamo i seguenti dati come mostrato in figura 3:

-equazione dell'iperbole: X^2/16 - Y^2/9 = 1
-tangente blu: Y = 8.14 X - 32.42
-tangente rossa: Y = - 1.28 X - 4.16
-coordinate punti di tangenza
X1 = - 4.93; Y1 = + 2.17
X2 = 4.02; Y2 = + 0.28

5)Osservazioni
A- La routine di calcolo non consente il tracciamento dell'iperbole se s'imposta | xo | > a.

B- La routine di calcolo non consente il tracciamento dell'iperbole se s'imposta a > F.

C- Per ottenere l'iperbole equilatera deve essere, come è noto, a = b, ovvero, essendo
b = √(c ² - a ²), si possono inserire a calcolo le due variabili "a" ed "F = c" della conica secondo il rapporto
F / a = √(2)

D- Impostando F ed a secondo il rapporto F / a = √(2) e ponendo il punto Po sull'origine degli assi Po ( Xo = 0 ; Yo = 0 ) si ha la presentazione dell'iperbole equilatera con i suoi asintoti.

6)Note
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.