Geometria analitica (23°)
Punti di contatto tra ellisse e iperbole con centri nell'origine degli assi

1)Generalità
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

2)Algoritmi in V.B. per le intersezioni dell'ellisse con l'iperbole.
Quando le coordinate del centro dell'ellisse e dell'iperbole sono coincidenti con l'intersezione degli assi cartesiani di riferimento si ha il caso più semplice per la soluzione dei problemi tra queste due coniche.
In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, il tracciamento tra un'ellisse di fuochi F1 = c; F2 = -c e centro in Po(Xo = 0 ; Yo = 0) e di un' iperbole di fuochi F1 = c1; F2 = -c1 e centro in Po (Xo = 0 ; Yo = 0); quindi il calcolo delle coordinate dei punti di contatto.
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:

-equazione dell'ellisse con centro all'origine degli assi:
((X^2) / (a^2) ) + ((Y^2) / (b^2) ) = 1
-coordinate dei fuochi : F1 (X1 = c; Y1 = 0) ; F2 (X2 = -c; Y2 = 0)
-coordinate dei punti di intersezione asse X : P3 (X3 = a; Y3 = 0) ; P4 (X4 = -a; Y4 = 0)
-coefficiente b: b = sqr( a^2 - c^2)
-equazione esplicita dell'ellisse in Y:
Y = +/- ( b / a) * Sqr ( a^2 - x^2 )
-funzioni per la grafica dell'ellisse:
k = a ^ 2 - x ^ 2
C1 = (b / a) * Sqr(k)
C2 = -(b / a) * Sqr(k)
-equazione dell'iperbole con centro all'origine degli assi:
((X^2) / (a1^2) ) - ((Y^2) / (b1^2) ) = 1
-coordinate dei fuochi : F1 (X5 = c1; Y5 = 0) ; F2 (X6 = -c1; Y6 = 0)
-coordinate dei punti di intersezione asse X : P7(X7 = a1; Y7 = 0) ; P8 (X8 = -a1; Y8 = 0)
-coefficiente b1: b1 = sqr( c1^2 - a1^2)
-equazione dell'iperbole con l'esplicitazione di Y:
Y = +/- ( b1 / a1) * Sqr ( x^2 - a1^2 )
-funzioni per la grafica dell'iperbole:
k1 = x ^ 2 - a1 ^ 2
C1 = (b1 / a1) * Sqr(k1)
C2 = -(b1 / a1) * Sqr(k1)
-la soluzione del sistema:
((X^2) / (a^2) ) + ((Y^2) / (b^2) ) = 1
((X^2) / (a1^2) ) - ((Y^2) / (b1^2) ) = 1
che consente il calcolo delle coordinate di quattro punti d'intersezione secondo la routine:
A11 = 1 / a ^ 2
B11 = 1 / b ^ 2
C11 = 1 / a1 ^ 2
D11 = 1 / b1 ^ 2
yy = +/- Sqr((A11 - C11) / (A11 * (-B11 - D11) + B11 * (A11 - C11)))
xx = +/- Sqr((1 + D11 * yy ^ 2) / C11)
-le coordinate dei punti di contatto, simmetriche rispetto agli assi del reticolo cartesiano, sono:
pc1(xc1; yc1) - pc2(xc2; yc2) - pc3(xc3; yc3) - pc4(xc4; yc4)

3)L'impiego del file eseguibile
Il file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano il tracciato cartesiano e 5 caselle d'immissione dati con un pulsante d'avvio "Calcolo".
Nella casella "Fe" si deve digitare il valore del fuoco dell'ellisse.
Nella casella "a" l'ascissa del punto di contatto dell'ellisse con l'asse x
Nella casella "Fi" si deve digitare il valore del fuoco dell'iperbole.
Nella casella "a1" l'ascissa del punto di contatto dell'iperbole con l'asse x
Nella casella "Scala" il valore da assegnare al fondo scala del reticolo affinché possa contenere il tracciato completo delle due coniche.
Sotto le due equazioni delle coniche vengono presentati i rispettivi coefficienti numerici.
Sotto la scritta " Coordinate dei punti di contatto" vengono presentati i dati del calcolo.
L'ellise ed i suoi fuochi sono tracciati in nero.
L'iperbole ed i suoi fuochi sono tracciati in rosso.

4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo viene proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile (eserc.ellip) .
Il calcolo che ci accingiamo a svolgere richiede una semplice osservazione:
Il problema non ammette soluzioni se a < a1 (l'ellisse non interseca l'iperbole)
Ipotizziamo la ricerca dei punti d'intersezione tra un' ellisse di centro nell'origine degli assi, con:
F1 = +8; F2 = -8; a = 9,
ed un'iperbole anch'essa con centro all'origine degli assi con con:
F1 = +4; F2 = -4; a1 = 3,
Una volta inseriti i dati nelle apposite caselle della schermata di (eserc.ellip), con valore di fondo scala uguale a 10, otteniamo i seguenti dati come mostrato in figura 2:
coordinate dei punti d'intersezione
x1 = 4.93 ; y1 = 3.45
x2 = 4.93 ; y2 = -3.45
x3 = -4.93 ; y3 = -3.45
x4 = -4.93 ; y4 = 3.45

equazione ellisse:
X²/81 + Y²/16.97 = 1

equazione iperbole:
X²/9 - Y²/7.02 = 1

5)Note
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.