Geometria analitica (26°)
Equazione dell'iperbole con vertice v(Xvo = a: Yvo = 0)
e tangente alla retta rt

1)Generalità
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

2)Algoritmi in V.B. per il calcolo dell'equazione dell'iperbole avente vertice "a" e tangente alla retta rt.
Quando le coordinate del centro dell'iperbole sono coincidenti con l'intersezione degli assi cartesiani di riferimento si ha il caso più semplice per la soluzione del problema relativo alla determinazione dell'equazione dell'iperbole, dato il vertice "a" e tangente ad una retta d'equazione: y = m X + n.
In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, la costruzione dell'equazione dell'iperbole e il tracciamento di essa, della tangente e dei punti che caratterizzano il problema: "vertici"; "fuochi"; "punto di contatto" tra le due curve.
Questo è la sintesi del listato in vb:
-ingresso dati:
per la retta rt: "m" ; "n"
per l'iperbole "a"
-impostazione equazione retta rt per grafico e calcoli:
yt = m * X + n
-condizione di validità per la costruzione equazione iperbole:
If (a) <= Abs(n / m) Then GoTo noiperbole
-calcolo del coefficiente "b" dell'iperbole:
b = Sqr(a ^ 2 * m ^ 2 - n ^ 2)
-tracciamento iperbole:
k = X ^ 2 - a ^ 2
c1 = (b / a) * Sqr(k)
c2 = -(b / a) * Sqr(k)
-impostazione equazione iperbole e presentazione visiva:
Dim aq As String
Dim bq As String
aq = Format(Abs(a ^ 2), " ##0.00")
bq = Format(Abs(b ^ 2), " ##0.00")
Label3.Caption = " X^2 / " + aq + " - Y^2 / " + bq + " = 1"
-calcolo e presentazione coordinate punto di tangenza:
xto = (m * n) / ((b ^ 2 / a ^ 2) - m ^ 2)
yto = m * xto + n
Label16.Caption = Format(xto, "##0.00")
Label20.Caption = Format(yto, "##0.00")
-calcolo e presentazione coordinate del fuoco :
fuoco = Sqr(a ^ 2 + b ^ 2)
Label26.Caption = Format(fuoco, "##0.00")
noiperbole:

3)L'impiego del file eseguibile
Il file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano il tracciato cartesiano e 4 caselle d'immissione dati con un pulsante d'avvio "Calcolo".
Nelle caselle "m", "n" si devono digitare i valori dei coefficienti della retta rt.
Nella casella "a" il coefficiente noto dell'iperbole
Le caselle dati d'ingresso e la retta che ne scaturirà sono tracciate in rosso.
Ls curva dell'iperbole e la sua equazione, le coordinate dei punti significativi sono tracciate in blu.
Nella casella "Scala" il valore da assegnare al fondo scala del reticolo affinché possa contenere il tracciato completo: la retta e l'iperbole cercata.
Sotto la scritta " Equazione dell'iperbole " vengono presentate in forma esplicita l'equazione calcolata e le coordinate dei punti significativi della curva.

4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo viene proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile (eserc.equaip) .
La soluzione del problema posto viene sviluppata in una frazione di minuto quando, altrimenti, il tempo di sviluppo potrebbe richiedere molto più lavoro.
Il problema posto non è sempre risolvibile; per che ciò possa esserlo deve sempre essere verificata la disuguaglianza:
(a) <= Abs(n / m)
ovvero la retta deve passare:
o tra l'origine degli assi e il vertice " + a "
o tra l'origine degli assi e il vertice " - a "
Se ipotizziamo la ricerca dell'equazione dell'iperbole avente:
coefficiente a = 2.5
e tangenza con la retta y = 2 x - 3
una volta inseriti i dati nelle apposite caselle della schermata di (eserc.equaip), con valore di fondo scala uguale a 10, otteniamo i seguenti dati come mostrato in figura 2:

-equazione dell'iperbole: X^2/6.25 - Y^2/16 = 1
-fuochi = +/- 4.72
-coordinate punto di tangenza
Xto = 4.17; Yto = 5.33

5)Esempio d'impossibilità di calcolo
E' utile prendere in esame un caso d'impossibilità di soluzione del problema quale, ad esempio, quello che vede a = 3
y = X + 5
In questo caso il calcolo dell'equazione dell'iperbole non è possibile dato che la retta, come si vede in figura 3, passa oltre il vertice " - a" dell'iperbole.
Infatti in caso di insussistenza della disuguaglianza
(a) <= Abs(n / m)
il file eseguibile mostra soltanto la retta data è i vertici dell'iperbole conseguenza dei dati impostati.



Un'evoluzione del problema, dal caso ora mostrato di impossibilità di soluzione, al caso di possibilità di soluzione è controllabile con il file eseguibile.
Infatti se dopo il calcolo che porta alla schermata di figura 3, si modifica in diminuzione il parametro "n" della retta si osserva come questa si avvicini al valore di a = -3, superato il quale il calcolo dell'equazione dell'iperbole viene eseguito così come mostra, per n = 2, la figura 4.

6)Note
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.