Digital beamforming
Formazione dei fasci acustici con metodo numerico

1) Generalità
Nella scoperta sonar l'impiego dei fasci preformati garantisce il controllo simultaneo di tutto l'arco dell' orizzonte per l'individuazione di eventuali bersagli attivi.
I fasci preformati sono un insieme di sistemi direttivi ciascuno orientato per una direzione stabilita.
Dei singoli sistemi direttivi si è già trattato ampiamente su p39/p94 dove la formazione della direttività del fascio è affidata ai sistemi analogici di elaborazione; in p4 si sono studiati i fasci preformati FALCON che nascono in forma digitale; in questo caso il processo avviene nel modo più semplice limitando i segnali a due stati, non si tratta quindi di elaborazione numerica dei segnali idrofonici.
In questa pagina accenneremo alla costruzione di un sistema direttivo per via numerica, può essere parte di un insieme di fasci preformati o fascio singolo, impostato sull'elaborazione numerica dei segnali idrofonici che in questo caso, dopo amplificazione e filtraggio, richiedono la conversione Analogico/Digitale per il loro trattamento.
Il criteri per la formazione dei fasci acustici per via numerica possono comprendere anche algoritmi speciali, estremamente sofisticati, studiati per l'ottimizzazione del rapporto segnale/disturbo; naturalmente questa tematica non può essere esposta in questa sede.

2) Richiamo alla formazione del fascio acustico per via analogica
Per l'argomento di cui al titolo riportiamo parzialmente quanto già illustrato in p94/par.3:

Il caso più semplice che interessa il dimensionamento di un sistema a fasci preformati è relativo ad una base circolare dato che la struttura di ciascun fascio è identica per tutti gli altri.
Consideriamo la base circolare di figura 1a:



in essa osserviamo la posizione delle singole coppie d'idrofoni, indicate con:
1-18; 2-17 ; 3-16; 4-15 ...
Supponiamo, ad esempio, che il suono della sorgente colpisca la base secondo l'angolo α = 0°, asse della base, e che i tempi d'impatto rispetto alla coppia (1-18) siano:

t(1-18) = 0 μSec
t(2-17) = 42 μSec
t(3-16) = 111 μSec
t(4-15) = 215 μSec

Dato che il massimo della curva di direttività della base si ottiene con la somma di tutte le tensioni degli idrofoni che abbiano lo stesso tempo di percorrenza si può impostare la seguente tabella nella quale si elencano i tempi d'impatto ed i tempi di ritardo necessari affinché l'esigenza sia soddisfatta:

coppie	tempo d'impatto μSec.	ritardo aggiunto μSec.	somma ritardi μSec.
(1-18)	0	t1 = 215	215
(2-17)	42	t2 = 173	215
(3-16)	111	t3 = 104	215
(4-15)	215	t4 = 0	215

Applicando i ritardi ora calcolati si ottiene una configurazione elettrica della base circolare "compensata" (tutti i segnali ricevuti sono messi in coerenza tra loro e sommati) come mostra la figura 1b



Per il fascio contiguo, formato dalle coppie 2-1; 3-18; 4-17; 5-16, la geometria è identica a quella precedente ed i ritardi da applicare sono gli stessi; questo per tutti gli altri fasci il cui asse passi tra due idrofoni contigui.
I tempi di ritardo necessari per la formazione dei fasci possono essere realizzati in diversi modi; per semplici strutture sonar con catene di ritardo analogiche, per sonar a trattamento misto dei segnali i ritardi possono essere fatti con dei registri a slittamento, per strutture complesse la rimessa in coerenza è affidata al software di macchine superveloci.

3)La formazione del fascio acustico per via numerica
La descrizione del formatore del fascio acustico per via numerica è svolta, similmente a quanto fatto per i fasci analogici di paragrafo 2, mediante l'illustrazione di blocchi funzionali senza ricorrere a sviluppi di carattere matematico, quest'ultimi saranno illustrati su copia in pdf dello studio originale al quale si fa riferimento in seguito.
Quanto andremo ad esporre si riferisce ad una tra le diverse metodologie di processo che sono state sviluppate per la formazione numerica dei fasci acustici.
Secondo la struttura circolare esaminata al paragrafo precedente la disposizione per la formazione del fascio per via numerica è quella di figura 2 nella quale si vedono gli idrofoni della base acustica, idealmente già amplificati, collegati ad altrettanti convertitori A/D l'uscita dei quali, in forma numerica, è inviata al sistema di processo oggetto della presente pagina.
Il compito dei convertitori A/D è duplice:
I° = trasformare i segnali idrofonici da analogici a digitali in forma numerica
II° = nella trasformazione imporre il ritmo di campionatura secondo Tc = 1/Fc
dove, secondo Nyquist, Fc > 2 x (Fmassima) ricevuta dalla base acustica.



E' utile ricordare che un segnale campionato secondo il punto II° contiene tutta l'informazione del segnale originale tale che lo stesso può essere ricostruito secondo il percorso indicato, a solo titolo d'esempio, in figura 2a utilizzando, per la ricostruzione del segnale, un apposito filtro interpolatore.
Il filtro, di tipo numerico, esegue il prodotto dei campioni del segnale per la propria funzione caratteristica.



E' sulla base di questo assunto che si sviluppano i ragionamenti che seguono.

4)Sezioni del processo matematico
Il processo matematico completo, illustrato in figura 3, ricalca quello analogico mostrato in figura 1b. In figura 3 sono indicate quattro sezioni operative:

-Sezione 1 - convertitori A/D: convertono i segnali idrofonici in sequenze numeriche che
si ripetono al ritmo della frequenza di campionamento Fc ( Fc deve essere maggiore del doppio della frequenza massima dei segnali idrofonici Fmax -secondo Nyquist-)

-Sezione 2 - blocchi numerici di ritardo: con l'ausilio di memorie d'appoggio immagazzinano
e traslano, ad intervalli Δt = 1/Fc, le sequenze numeriche per disporle in stringhe tra loro coerenti

-Sezione 3 - organo per la somma delle diverse componenti numeriche rimesse in coerenza

-Sezione 4 - convertitore D/A : conversione dei dati numerici d'uscita dalla routine di somma
con filtraggio passa basso: in uscita segnale analogico del fascio.



Un'idea del contenuto numerico delle memorie relativo alle 4 coppie di stringhe provenienti dai convertitori A/D è mostrato in figura 3/a dove l'ampiezza delle barrette verticali indica l'entità del numero memorizzato mentre gli intervalli orizzontali tra le barrette corrispondono in debita scala al valore Δt = 1/Fc.



si osservi che la coppia a1-u1 è la prima ad essere convertita (tempo 0); a distanza temporale di 42 μSec. è presente la a2-u2 ; a 111 μSec. rispetto alla prima la a3-u3; ed infine per ultima, a 215 μSec. la a4-u4.

Se la conversione A/D fosse fatta idealmente a frequenza infinita (Δt = 1/Fc.= 0), se il processore potesse operare a velocità illimitata, l'uscita del fascio potrebbe essere utilizzata, semplicemente, disponendo dopo il convertitore D/A un semplice filtro passa basso, ciò in virtù del fatto che le stringhe potrebbero essere traslate tra loro e coincidere perfettamente prima di essere sommate ed il problema della formazione dei fasci acustici per via numerica sarebbe così risolto.
In realtà molti problemi incidono sulla frequenza di conversione dei dati da parte dei dispositivi A/D limitandone la velocità, altrettanto dicasi per i processori matematici; problema reso ancora più evidente quando il numero dei fasci da calcolare ed il numero dei sensori che li compongono è elevato, si presentano quindi notevoli difficoltà nella realizzazione di fasci preformati numerici.
Una delle cause che limitano la velocità dei convertitori A/D dipende dal fatto che questi, dovendo essere il più vicino possibile agli amplificatori idrofonici in modo da non avere i segnali analogici d'ingresso inquinati da disturbi, devono inviare i dati convertiti al processore disposto a notevole distanza, richiedono pertanto considerevoli bande passanti sui cavi di collegamento A/D - Processore.

5)Sulla valutazione dei tempi di ritardo del formatore fasci numerico
Se prendiamo a modello la base acustica di figura 1a, nell'ipotesi che essa riceva segnali acustici non superiori a Fmax = 10000 Hz, possiamo fare un esempio sulla valutazione dei tempi che devono essere rispettati nel formatore numerico dei fasci.
La sezione 1 di figura 3, dopo aver campionato i segnali della base alla frequenza Fc > 2 Fmax (ad esempio: Fc = 22222 Hz), invia gli 8 segnali convertiti alla sezione 2, si veda figura 3/a, questa ha il compito di immagazzinarli e di traslarli affinché, similmente a quanto mostrato nella tabella di par.2, tutte le 8 stringhe, da inviare al sommatore alla sezione 3, abbiano subito lo stesso ritardo indicato nella citata tabella in 215 μSec.
Visti i valori numerici in gioco possiamo osservare che le 8 stringhe di dati sono caricate nella sezione 2 ad un ritmo pari a 1 / Fc = 1 / 22222 = 45 μSec.
ciò significa che gli slittamenti delle stringhe di figura 3/a, eseguite dalla stessa sezione per rimetterle in coerenza prima di inviarle alla sezione 3 del sommatore, possono essere soltanto a passi di 45 μSec. o suoi multipli
In queste condizioni la tabella dei ritardi sopra vista potrà essere così redatta indicando anche la percentuale d'errore commesso a causa del valore di 1/Fc:

coppie	ritardo calcolato da aggiungere μSec.	ritardo disponibile- multipli di 1/fc -	errore percentuale
(1-18)	0	0	0
(2-17)	42	45	+ 10.7
(3-16)	111	90	- 8.1
(4-15)	215	225	+ 9.5

Gli errori riportati in tabella pregiudicano negativamente la formazione del fascio che tende ad allargasi riducendo il guadagno di direttività.
Visti i dati sembrerebbe semplice ridurre gli errori aumentando la Fc anche al di là di quanto necessario secondo Nyquist; osservando però che un convertitore A/D può contribuire, di massima, alla metà dei fasci preformati del sistema e se questi sono ad esempio 72 la frequenza effettiva di lavoro non sarà Fc ma
Fc* = Fc x 36 = 22222 X 36 ≈ 0.8 MHz, sarà opportuno non seguire questa strada per non incorrere nei problemi relativi alla trasmissione dati al processore.
Da questa osservazione prende corpo l'argomento riportato in questa pagina, tradotto e rielaborato liberamente dal lavoro originale pubblicato a suo tempo da R.G. Pridham e A. Mucci su Journal Acoustical of America, che ha lo scopo di ridurre artificiosamente gli intervalli di campionatura all'interno del processore ben sotto il valore di 1/Fc che resta ancora quello stabilito dalla conversione A/D.
La riduzione degli intervalli di campionatura all'interno del processore è possibile dato l'assunto fondamentale menzionato nel paragrafo 3: (E' utile ricordare che un segnale campionato secondo il punto II° contiene tutta l'informazione del segnale )

6)Una diversa forma del processore
Per ottenere una riduzione del tempo di campionatura si utilizza un modello di processore diverso da quello mostrato in figura 3; una soluzione che prevede una forma particolare di "interpolazione" così come riportato in figura 4:



-Sezione 1 - convertitori A/D: convertono i segnali idrofonici in sequenze numeriche che
si ripetono al ritmo della frequenza di campionamento Δt = 1/Fc.

-Sezione 2 - memorie d'appoggio per immagazzinare le sequenze di dati

-Sezione 3 - scansione delle memorie di sezione 2 ed inserimento, tra tutti i campioni successivi, di K locazioni di memoria a livello zero; si generano nuove stringhe.

-Sezione 4 - scansione delle nuove stringhe di sezione 3 e interpolazione.

-Sezione 5 - slittamento e somma delle nuove stringhe a passi di Δt / K.

-sezione 6 - conversine D/A e filtraggio; uscita fascio.

Per comprendere meglio quanto sopra esposto possiamo fare ricorso al dettaglio della figura 4a che illustra la composizione dei segnali lungo la catena di figura 4:



La sequenza in parole:
-Il segnali idrofonici sono convertiti in forma numerica alla frequenza di campionamento Fc
-I campioni numerici sono depositati in memorie d'appoggio
-Un primo sistema di scansione esplora le memorie d'appoggio per creare stringhe dati nelle quali tra ogni coppia di valori memorizzati sono inseriti k valori nulli
- Un secondo sistema di scansione esplora le nuove stringhe e ne interpola i valori
-La nuova esplorazione e la conseguente interpolazione generano altre stringhe nella quali compaiono sia i valori numerici iniziali sia i valori numerici che l'interpolazione assegna ai gruppi delle k cellule intermedie
- Sono quindi disponibili stringhe con intervalli di campionatura artificiale molto più numerosi degli originali generati con Tc = 1/Fc
Con queste stringhe è possibile eseguire traslazioni e somme per la rimessa in coerenza con la precisione voluta.

7)Il processo matematico
La descrizione del processo matematico al quale abbiamo accennato è molto complessa, cercare di illustrare con altre espressioni il lavoro degli autori ne ridurrebbe senz'altro la validità.
Per la ragione su esposta si fornisce al lettore interessato agli sviluppi matematici di questo argomento il testo originale di R.G. Pridham e A. Mucci disponibile in file pdf cliccando su: Studio sui fasci numerici

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