Geometria analitica (30°)
Analisi delle caratteristiche comuni e non comuni di parabole con assi verticali

1)Generalità
La presente pagina rappresenta un'estensione del lavoro sulle parabole già sviluppato su p75.
Si presentano in eseguibile Visual Basic le procedure per il calcolo e la grafica automatica relative alle curve citate.
Le caratteristiche comuni e non comuni che si possono calcolare automaticamente con il file eseguibile VBP2.exe, osservando lo svilupparsi dinamico dei tracciati delle due parabole sullo schermo del P.C. sono:

1)Coordinate dei punti di contatto tra le due curve
2)Coordinate dei vertici delle due parabole
3) Valori dei passaggi per l'asse X ( radici dell'equazioni delle due parabole per Y = 0 )
4) Superficie del piano racchiuso tra i profili delle due curve

Data la complessità del lavoro gli algoritmi di calcolo non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic che girano su P.C.
Per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica ed analisi matematica in commercio.

2)Le variabili da inserire e gli algoritmi di calcolo
Le coordinate dei punti di contatto ( X1c; Y1c ) ( X2c; Y2c ), tra due parabole ad asse verticale, si calcolano mediante la soluzione di un sistema di secondo grado che vede coinvolte l'equazioni delle due curve:
Y = a X^2 + b X + c ← 1)
Y = a1 X^2 + b1 X + c1 ← 2)
Il calcolo prevede l'introduzione dei valori dei coefficienti (a; b; c), e (a1; b1; c1) relativi alle due curve.

Le coordinate dei vertici delle parabole si computano con le funzioni:
VX1 = -b / (2 * a)
VY1 = -(b ^ 2 - 4 * a * c) / (4 * a)

VX2 = -b1 / (2 * a1)
VY2 = -(b1 ^ 2 - 4 * a1 * c1) / (4 * a1)

I valori dei passaggi per l'asse X si computano risolvendo le due equazioni:
a X^2 + b X + c = 0
a1 X^2 + b1 X + c1 = 0

La superficie del piano racchiuso tra i profili delle due curve si computa con il valore assoluto della differenza tra i valori assoluti degli integrali definiti computati tra gli intervalli X1c ; X2c ricavati dalle 1) e 2) secondo l'espressione:

← 3)

La 3) consente la valutazione della superficie interclusa tra le due parabole rendendola sempre come numero positivo indipendentemente dalle superfici dei singoli trapezoidi definiti dalle due parabole tra X1c e X2c.
La 3) è valida se la superficie interclusa è sempre sopra o sotto l'asse delle ascisse; in caso contrario si applica il metodo dello "Slittamento" così come illustrato al paragrafo 6.

3)Come si presenta la schermata del file eseguibile VBP2
La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano:

-il tracciato cartesiano
-la TextBox per l'inserimento del valore di scala relativo al tracciato cartesiano
-le TextBox per l'inserzione dei coefficienti, a; b; c; della prima parabola (traccia rossa).
-le TextBox per l'inserzione dei coefficienti, a1; b1; c1; della seconda parabola (traccia blu).
-il pulsante per il calcolo delle coordinate dei punti di contatto e i label di lettura
-il pulsante per il calcolo delle coordinate dei vertici e i label di lettura
-il pulsante per il calcolo delle radici dell'equazioni delle parabole e i label di lettura
-il pulsante per il calcolo della superficie inclusa tra le due parabole e il label di lettura
-lo VScroll (traslatore verticale) per il posizionamento dei diagrammi quando necessario e il label che indica l'entità dello spostamento

figura 1

4)Nota sulla presentazione grafica automatica
L'eseguibile ha caratteristica dinamica, è in grado cioè di presentare una o due curve non appena digitati i coefficienti "a" e/o "a1" che come è noto si riferiscono a parabole ad asse verticale aventi
b=0; c=0 e b1=0 e c1=0.
Mano a mano che gli altri coefficienti vengono inseriti nelle rispettive TextBox si vedono le curve modificarsi per aderire alle successive impostazioni numeriche.
Le curve, una volta inseriti tutti i coefficienti voluti, possono essere traslate in alto od in basso agendo su VScrool, la necessità di questa operazione sarà definita in seguito.

5)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo sono illustrate le procedure grafiche e numeriche basate sul file eseguibile (eserc.VBP2) .

Tutti gli esercizi deveono sempre iniziare con il traslatore verticale ( VScrool ) a livello "0"

-Procedura per " parabole secanti:
si considera una parabola convessa: a = - 2; b = 3 ; c = 5 (traccia rossa)
ed una concava con: a1 = 2; b1 = 1 ; c1 = 2 (traccia blu)
Una volta digitati i valori dei coefficienti e il valore di fondo scala = 10 sul reticolo cartesiano compaiono automaticamente le due parabole, curve che possono cambiare automaticamente variando un qualsivoglia dei sei coefficienti inseriti.
Con la successiva pressione del pulsante "Calcolo punti di contatto" sullo schermo
compaiono le indicazioni delle coordinate dei punti di contatto:
p1( X1c = -0.65 ; Y1c = 2.19) p2 ( X2c = 1.15 ; Y2c = 5.80)
La grafica finale è visibile in figura 2:

figura 2

L'analisi numerica degli altri parametri relativi alle due curve di figura 2 è visibile in figura 3 dopo aver premuto i pulsanti "Calcolo coordinate vertici" , "Calcolo radici", "Calcolo superficie".

figura 3

Nell'esempio abbiamo volutamente posto dei coefficenti a;b;c e a1; b1; c1 che consentissero alle curve di generare la superficie interclusa sopra l'asse delle ascisse permettendo, grazie alla grafica di figura 4 ( estratta da figura 3 ), l'applicazione dell'algoritmo 3) secondo le regole classiche relative alla quadratura di una superficie limitata da due funzioni aventi in comune due punti con ascisse ed ordinate uguali.

figura 4

Se i coefficienti delle due parabole sono tali da generare la superficie interclusa in qualsiasi parte del piano cartesiano i presupposti per l'applicazione della 3) cadono e un diverso algoritmo dovrebbe essere implementato.
Per utilizzare la 3) in qualsiasi condizione si ricorre all'espediente che illustriamo nel paragrafo seguente.

6)Esempio di calcolo della superficie, comunque disposta, inclusa tra due parabole
Per il calcolo della superficie comunque inclusa tra le due parabole è necessario prendere in esame un nuovo esempio di computazione quale quello illustrato in figura 5 nel quale sono stati iseriti i coefficienti:
a = - 2; b = 3 ; c = 4
a1 = 2; b1 = 4 ; c1 = -3
Con questa impostazione dei coefficienti e per VScrool = 0 si possono calcolare e prender nota di tutti i parametri delle parabole eccetto la superficie così come mostra figura 5.

figura 5

Della figura 5 se ne evidenzia il solo tracciato cartesiano, vedi figura 6, del quale si vuole valutare la superficie:

figura 6

In figura si osserva che la zona interclusa, colorata in verde scuro, si sviluppa tra i 4 quadranti passando per l'asse delle ascisse per valori che, pur calcolabili, porterebbero a processi d'integrazione diversi dalla 3).

Per poter calcolare la superficie con l'espressione 3), nelle condizioni sopra illustrate, dopo aver calcolato e registrato tutti i dati su figura 5 se voluti, superficie esclusa , si slittano le due curve e la zona interclusa o tra il 1° e 4° quadrante o tra il 2° e 3°.
Questa operazione, realizzata tramite lo VScroll, modifica la 1) e la 2) in due diverse funzioni:
da:
Y = a X^2 + b X + c ← 1)
Y = a1 X^2 + b1 X + c1 ← 2)

a:
Y = a X^2 + b X + c + scr ← 1s)
Y = a1 X^2 + b1 X + c1 + scr ← 2s)

dove "scr" è l'incremento di ordinate, per entrambe le funzioni, dovuto alla VScroll.
In questo modo le due funzioni si spostano l'ungo l'asse delle ordinate lasciando inalterata la loro reciproca posizione e quindi l'area interclusa.
Lo slittamento dell'immagine avviene tramite il VScrool che dalla posizione "0" viene spostato di quanto necessario, in questo caso lo slittamento è di 6 unità, affinché la zona interclusa sia al di sopra dell'asse delle ascisse così come mostra la figura 7.

figura 7

Una volta ottenuto lo spostamento voluto pigiando il pulsante "Calcolo superficie" si ottiene il valore corretto di questa come si vede in figura 7: Sup = 12.51.
Durante questa fase i dati precedentemene elaborati, relativi alla posizione originale delle parabole, restano fissati e corretti sui label purchè non si pigi alcuno degli altri tre pulsanti di calcolo.
Se lo slittamento non è tale da portare completamente l'area interclusa tutta oltre l'asse x il valore calcolato della superficie risulta errato in difetto; è interessante esaminare questa situazione a titolo di esercizio.
Si deve osservare che quando il valore di VScrool è diverso da zero l'equazioni delle parabole non sono corrette e di conseguenza i dati calcolati pigiando i pulsanti e presentati nei label non rispondono più al vero ad eccezione del valore della Superficie

7) Sul cambiamento di scala
Agendo nella TextBox "Fondo scala" si attribuisce a ciascuna divisione del reticolo cartesiano un particolare valore; se il "Fondo scala" è digitato in 10 unità ciascuna delle 10 divisioni per quadrante sarà di 1 unità tanto in ascisse che in ordinate.
La variazione del "Fondo scala" necessaria per accogliere qualsiasi grafico di parabola consente di implementare a calcolo qualsiasi equazione, naturalmente i valori che scaturiscono dai computi automatici devono essere valutati in base alla scala prescelta.