L'integrale di Clausen
(1° della serie degli integrali particolari)

-Calcolo automatico del valore numerico tra i limiti d'integrazione per gli integrali definiti-

1) Generalità
Con questa pagina si apre la 1^ di una serie di routine per il calcolo degli integrali definiti a carattere particolare: l'integrale di Clausen.
Le tabelle dell'integrale, calcolato in funzione del limite d'integrazione superiore, non si trovano con facilità nella letteratura specializzata; quelle disponibili poi sono calcolate a passi di 2° sessagesimali, per valori intermedi sono richieste tediose operazioni d'interpolazione: vediamo ora un versatile applicativo.

2) L'integrale di Clausen
La forma analitica dell'integrale in oggetto è sotto riportata:



dove l'estremo superiore d'integrazione, Φ, è in gradi sessagesimali e viene impostato dall'utilizzatore nell'apposito Text Box "Φ = ", così come mostra il pannello operativo di figura 1:

figura 1

Come si vede in figura un secondo Text Box, S, sotto il primo, consente di stabilire l'incremento del processo d'integrazione fissato; il valore S sostituisce l'infinitesimo "dt" nel processo di calcolo di I(Φ).
Al lancio del programma "S" è fissato a: S = 0.000001; questo è un incremento medio che consente calcoli veloci con precisioni fino a tre decimali, per ottenere precisioni più elevate è necessario ridurre l'incremento "S" pagando il risultato d'integrazione più preciso al prezzo di un maggior tempo di calcolo.
Il pulsante "Calcolo" a riposo è di colore verde, una volta premuto permane di colore rosso per tutto il tempo di calcolo; è un modo per giustificare il tempo d'attesa per lo sviluppo del processo.

3) Esempi di calcolo
Il calcolo dell'integrale si esegue chiamando l'eseguibile in VB6: IP1.exe che presenta la schermata di figura 1 .

I risultati degli esempi si confrontano con un dato tabellare preciso a 6 decimali:
per Φ = 15°
il valore dell'integrale é: I(Φ)= 0.612906.
dal confronto si può giudicare quanto gioca il valore di "S".

-primo esempio:
per S impostato in automatico al lancio del programma: S = 0.000001
e per Φ = 15° si ha: I(Φ)= 0.612924 con un errore di 0.3/10000 rispetto al dato tabellare.

-secondo esempio: per S impostato manualmente: S = 0.0000001 e per Φ = 15° si ha: I(Φ)= 0.612908 con errore nettamente inferiore al precedente.

-terzo esempio:
per S impostato manualmente a: S = 0.00000001 e per Φ = 15° si ha:
(dopo un notevole tempo di calcolo ) : I(Φ)= 0.612908 identico al valore tabellare.

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