Sulle probabilità di scoperta e falso allarme dipendenti dalla distanza del bersaglio
viste secondo i diagrammi delle curve ROC

1) Generalità

Il problema relativo al calcolo della probabilità di scoperta in passivo (Priv.) e di falso allarme (Pfa), dipendenti dalla distanza del bersaglio, Priv = f(R) ; Pfa = f(R), è stato trattato rispettivamente in P262 e P264 secondo processi di calcolo molto complicati; in questa pagina cercheremo di affrontare i problemi in modo più discorsivo e intuitivo facendo ricorso ai diagrammi delle curve ROC.

2)Le curve ROC

Le curve ROC già ampiamente trattate nelle pagine di questo sito sono state per lungo tempo, prima della pubblicazione in p80 del calcolatore automatico delle stesse, l'unico riferimento per affrontare i calcoli relativi alle portate dei sonar sia in modalità passiva che attiva.
Il grafico di dette curve è riportato in figura 1 per iniziare quanto proposto nelle generalità:



Il grafico porta in ascisse la probabilità di falso allarme (Pfa) espressa in percentuale; in ordinate la probabilità di rivelazione (Priv), indicata come P(D), anch'essa in percentuale.
La serie di rette inclinate, indicate da d = 0 a d = 36 sono le curve del legame esistente tra P(riv) e P(fa).
Una volta scelto il valore del parametro "d", ad esempio d = 9, sulle retta corrispondente si possono determinare, con discreta approssimazione, numerose coppie, tutte diverse, come:
d = 9 : Pfa = 0.2 % , Priv = 50 %
d = 9 : Pfa = 0.1 % , Priv = 40 % ecc.

3)Il livello del segnale in funzione della distanza

Per sviluppare l'argomento di questa pagina è utile mostrare come varia l'ampiezza di un segnale idrofonico (SL) emesso da un semovente che da una distanza R1 si allontana verso la distanza R2.
Se assumiamo il livello della sorgente al valore SL = 200 dB / μPa e se la distanza iniziale dal sonar è R1 = 40 Km il livello ricevuto dal sonar, per a = 0.1, sarà:

Sr = 200 - [ 60 + 20 * Log(40) + a * 40 ] = 104 dB/ μPa

Durante il percorso tra R1 e R2 il livello di Sr decresce secondo la curva mostrata in figura 2:

figura 2

riducendosi a 96 μPa alla distanza di 70 Km; questo è il fenomeno al quale faremo riferimento.
Supponiamo ora che il sonar, quando R1 = 46 Km, sia predisposto per un falso allarme di Pfa = 0.1 % ed una conseguente probabilità di rivelazione Priv = 99 % ; volendo mantenere la soglia al livello costante di Pfa = 0.1% è chiaro che con la riduzione dell'ampiezza di Sr con l'incremento della distanza, da R1 ad R2, la percentuale della probabilità di rivelazione Priv, andrà a ridursi secondo l'andamento delle curve ROC.

4)La variabilità della probabilità di rivelazione (Priv.)

Il fenomeno accennato al paragrafo 3 può essere interpretato con la figura 3, ricavata dalla 1, con l'apposizione di un segmento, in posizione verticale con ascissa Pfa = 0.1 % (La Pfa è fissata dall'operatore al sonar calibrando la soglia di rivelazione)

figura 3

La retta tracciata verticalmente sta a significare che il valore di Pfa = 0.1 % è costante per qualsiasi valore del parametro "d" ovvero per qualsiasi valore della probabilità di rivelazione Priv.
La coppia di valori Priv = 99 % e Pfa = 0.1 %, contraddistinta con il cerchietto nero, rappresenta la condizione di ricezione definita dal sonar quando il bersaglio è alla distanza R1 = 46 Km.
A mano a mano che il bersaglio si allontana per passare da R1 ad R2 il livello del segnale ricevuto dal sonar si riduce come mostrato in figura 2; la conseguenza della riduzione del segnale, con la soglia fissa per Pfa = 0.1% è la conseguente riduzione della probabilità di rivelare il bersaglio che da Priv = 99 % per R = 40 Km si riduce progressivamente a Priv = 5% per R2 = 70 Km.
Durante l'allontanamento del bersaglio tutte le possibili coppie Priv = x %; Pfa = 0.1 % sono elaborate dal sonar.
In questo caso la coppia Priv e Pfa è mostrata con cerchietto verde in figura 3.
L'andamento della probabilità di rivelazione del bersaglio, Priv, segue quanto mostrato in figura 4, frutto dei cacoli sviluppati in p262:

figura 4

5)La costanza della probabilità di rivelazione (Priv.)

Per comprendere il fenomeno di cui al titolo si deve fare sempre riferimento alla curva di figura 2 che evidenzia la variazione dell'ampiezza del segnale idrofonico in funzione della distanza R dal bersaglio, sia che la problematica riguardi il paragrafo precedente che indaga sulla variazione della probabilità di rivelazione (Priv.), sia per questo paragrafo che esamina la costanza di detta probabilità.

Un esempio nella scoperta sonar:
Si voglia mantenere relativamente costante la probabilità di rivelazione di un segnale idrofonico con l'incremento della distanza R1 dal bersaglio; supponiamo Priv = 80 % per R1 = 54 Km.
supponiamo inoltre che inizialmente l'operatore, tramite la soglia, abbia fissato il livello di Pfa. = 1% per R = 54 Km.
Con i dati impostati facciamo ora riferimento a figura 5, derivata da figura 1, nella quale è tracciata una retta orizzontale di ordinata Priv. = 80 %

figura 5

La retta tracciata orizzontalmente sta a significare che il valore di Priv % è costante per qualsiasi valore del parametro "d" ovvero per qualsiasi valore della probabilità di falso allarme Pfa.
La coppia di valori Priv = 80 % e Pfa = 1 %, contraddistinta con il cerchietto nero, rappresenta la condizione di ricezione definita dal sonar quando il bersaglio è alla distanza R1 = 54 Km.
A mano a mano che il bersaglio si allontana per passare da R1 ad R2 il livello del segnale ricevuto dal sonar si riduce come mostrato in figura 2; a conseguenza della riduzione del segnale il valore di soglia deve essere ridotto dall'operatore al sonar da Pfa. = 1 % per arrivare al massimo a livello di Pfa. = 20% come si evince dal cerchietto verde di figura 5.
L'andamento della probabilità di falso allarme sul bersaglio, Pfa, segue quanto mostrato in figura 6, frutto dei calcoli sviluppati in p264:

figura 6

La curva di figura 6 mostra come l'operatore al sonar, per assicurarsi una probabilità di scoperta Priv. = 80 % nell'intervallo delle distanze comprese tra R1 = 54 Km ed R2 = 65 Km, debba aggiustare la soglia, ovvero la Pfa, mano a mano che la distanza cresce secondo la curva indicata.
Un esempio: Se l'operatore a 54 Km ha posto la soglia per avere Priv = 80 % e Pfa = 1 % quando il bersaglio è giunto alla distanza di 60 Km lo stesso operatore deve averla ridotta per avere sempre Priv = 80 % e un valore di Pfa = 8 % così come si vede in figura 6.


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