1) INTRODUZIONE
L'effetto Doppler è causato dal moto relativo tra la sorgente sonora e il ricevitore. Questo movimento relativo "accorcia" o "allunga" la distanza a cui viene trasmessa l'energia, provocando l'aumento o la riduzione della frequenza dell'onda trasmessa.
Tramite tale fenomeno fisico, ed opportune trasformazioni, il sonar può rilevare la componente della velocità relativa del bersaglio lungo la congiungente bersaglio-sommergibile.
Si possono verificare diverse combinazioni dinamiche tra sommergibile e bersaglio, queste saranno illustrate nei paragrafi che seguono allo scopo di tradurre in forma numerica le diverse modificazioni della frequenza dell'onda acustica.
In questa pagina sarà assunta come velocità di propagazione media del suono nel mare c = 1530 m / sec.

2)PRIMA CONDIZIONE DINAMICA (sommergibile in movimento-ricevitore fermo)
In questo caso la sorgente sonora è un trasmettitore in un sottomarino che si muove da sinistra a destra lungo una retta:
-se il ricevitore di un secondo sottomarino fermo si trova a destra del trasmettitore, la distanza tra il trasmettitore e il ricevitore si riduce nel tempo e ogni periodo di propagazione dell'energia sonora dal trasmettitore al ricevitore sarà decrescente e di conseguenza la frequenza ricevuta sarà più elevata.
-se il ricevitore di un secondo sottomarino fermo si trova a sinistra del trasmettitore, la distanza tra il trasmettitore e il ricevitore aumenta nel tempo e ogni periodo di propagazione dell'energia sonora dal trasmettitore al ricevitore sarà crescente e di conseguenza la frequenza ricevuta sarà più bassa.
La variazione della frequenza causata dal movimento del trasmettitore si computa semplicemente mediante la nota formula di fisica generale che indica la velocità di un mezzo come il rapporto
spazio / tempo: v = s / t , da cui s = v t   che, sostituendovi le variabili caratteristiche dei segnali acustici, si presenta secondo l'espressione:

Landa = ( c ± vj ) / fe     1)
dove:

s = landa     lunghezza d'onda del segnale ricevuto
v = ( c ± vj )     velocità del suono in mare ± vj (variazioni della velocità del suono dovute al moto del sommergibile; (+) se il sommergibile si allontana dal ricevitore, (-) se si avvicina)
t = 1 / fe     periodo della frequenza fe del segnale emesso

Per ricavare il valore della frequenza ricevuta (fr) dall'equazione 1) viene utilizzata la relazione:

landa = c / fr che ci consente di scrivere:
Landa = ( c ± vj ) / fe = c / fr
da cui fr = c fe / ( c ± vj )     2)

Due semplici esercizi numerici per inquadrare la formula:
Supponiamo che il sommergibile navighi verso il ricevitore alla velocità di 20 nodi ( vj = 10.3 m/Sec.), assumiamo come valore della frequenza di emissione fe = 3500 Hz , stabilito c = 1530 m/sec
dalla 2) si ha :
fr = ( 1530 * 3500 ) / ( 1530 - 10.3 ) = 3523.7 Hz
Se il sommergibile fosse invece in allontanamento dal ricevitore si avrebbe:
fr = ( 1530 * 3500 ) / ( 1530 + 10.3 ) = 3476.6 Hz.
L'entità dello spostamento Doppler (SD), se necessaria, può essere calcolata secondo l'espressione:
SD = fr - fe

3)SECONDA CONDIZIONE DINAMICA (ricevitore in movimento-sommergibile fermo)
Si consideri la situazione di un trasmettitore fisso su di un sommergibile e un ricevitore su di un secondo sommergibile in movimento secondo un percorso rettilineo; l'onda lasciando il trasmettitore non viene alterata. Quando il ricevitore si allontana dal trasmettitore, invece, la lunghezza d'onda al ricevitore appare più lunga a causa del movimento del ricevitore stesso, e la frequenza appare inferiore.
Quando il ricevitore è in movimento verso il trasmettitore la lunghezza d'onda ricevuta appare più corta e la frequenza appare più elevata.
In questo caso la frequenza captata dal ricevitore a causa del suo movimento è espressa dall'equazione:

fr = fe ( c ± vj ) / c     3)

dove le variazioni della velocità del suono vj dovute al moto del ricevitore sono:
(-) se il ricevitore si allontana dal sommergibile, (+) se si avvicina ad esso.

Ancora un esercizio per il controllo della formula:
Supponiamo che il ricevitore si allontani dal sommergibile, alla velocità di
20 nodi ( vj = 10.3 m/Sec.), assumiamo come valore della frequenza di emissione fe = 3500 Hz , stabilito c = 1530 m/sec , dalla 3) si ha :

fr = 3500 ( 1530 - 10.3 ) / ( 1530 ) = 3476.4 Hz

4)TERZA CONDIZIONE DINAMICA (ricevitore e sommergibile in movimento)
Nel caso in cui sia il sommergibile trasmettitore che il ricevitore siano in movimento , ad esempio due sottomarini, la variazione di frequenza verso il ricevitore di uno dei due sommergibili è espressa dall'equazione:

fr = fe (c ± vj1) / ( c ± vj2 )     4)

dove:
vj1 = velocità del primo sommergibile
vj2 = velocità del secondo sommergibile

Si consideri, ad esempio, il caso in cui il trasmettitore e ricevitore si muovano l'uno verso l'altro, ciascuno alla velocità di 20 nodi ( vj1 = vj2 = 10.3 m/Sec. ); dall'equazione 4) si ha il valore della frequenza ricevuta:
fr = 3500 ( 1530 + 10.3 ) / ( 1530 - 10.3 ) = 3547.4 Hz

Lo spostamento Doppler in questo caso è: SD = fr - fe = 3547.4 - 3500 = 47,4 Hz, un incremento in frequenza, dovuto all'effetto combinato del trasmettitore e del ricevitore in movimento.

5)CONDIZIONE DINAMICA IN PRESENZA DELL'ECO
Nel caso in cui un sommergibile attivo trasmetta e contemporaneamente riceva l'eco di un secondo battello , l'energia acustica trasmessa è influenzata dal movimento dei due sommergibili sia in trasmissione, sia in ricezione dell'eco riflessa.
Se l'oggetto da cui si riflette l'eco è in movimento, il segnale trasmesso è influenzato dal movimento del riflettore sia per la ricezione sia per la ritrasmissione del segnale come eco.
Pertanto è possibile che la frequenza dell'eco possa essere interessata da quattro distinti cambiamenti nella frequenza secondo la seguente equazione:

fr = fe (c ± vr') ( c ± vr ) / (c ± vt) ( c ± vt' )     5)

dove:
vr' = velocità del sommergibile bersaglio al momento della ricezione del segnale
vt' = velocità del sommergibile bersaglio al momento della risposta con l'eco
vt = velocità del sommergibile all'istante dell'emissione del segnale
vr = velocità del sommergibile all'istante della ricezione dell'eco

Si consideri il caso in cui tanto il sottomarino attivo che il bersaglio si muovano l'uno verso l'altro, ciascuno ad una velocità di 20 nodi (10.3 m/Sec.), applicando la 5), per fe =3500 Hz, c = 1530 m/Sec. abbiamo:
fr = 3500 (1530 + 10.3) ( 1530 + 10.3 ) / (1530 - 10.3 ) ( 1530 - 10.3 ) = 3595.5 Hz

Essendo fe = 3500 Hz e fr = 3595.5 Hz lo spostamento Doppler (SD) è:
SD = fr - fe = 95.5 Hz dovuto all'effetto combinato del sommergibile attivo e del bersaglio in movimento.

6)VALUTAZIONE SEMPLIFICATA DELLO SPOSTAMENTO DOPPLER
Una formula semplificata che consente il calcolo dello spostamento Doppler (SD), una volta stabilite le variabili fe; vs = vt + vt'; c , è la seguente:

SD = 2 fe ( vs / c )     6)

se ad esempio: fe = 3500 Hz; vt = 10.3 m/Sec. ; vt' = 10.3 m/Sec. ; c = 1530 m/Sec. si ha:
SD = 2 * 3500 ( 10.3 + 10.3) / 1530 = 94.2 Hz

Il valore dello spostamento Doppler computato con la 5) portava ad un valore di SD = 95.5 Hz; con la modalità di calcolo semplificata si ha invece SD = 94.2 Hz con un errore molto piccolo pari a 95.5 / 94.2 = 1.4 %.

7)CALCOLO DI MASSIMA DELLA COMPONENTE DELLA VELOCITA' DEL BERSAGLIO
Nell'ipotesi che il sommergibile attivo sia fermo ( vt = 0 ) e che a seguito dell'emissione dell'impulso
con fe = 5000 Hz la riverberazione sia trascurabile, la 6) del paragrafo precedente può essere scritta:

SD = 2 fe ( vs / c ) = 2 fe ( vt + vt') = 2 fe ( vt' / c ); che risolta in vt' (velocità del bersaglio) diventa:

vt' = c SD / 2 fe     7)

Se da una misura strumentale eseguita nelle condizioni citate risultasse fr = 5120 Hz, il valore di SD sarebbe SD = fr - fo = 5120 Hz - 5000 Hz = 120 Hz.
Con il valore di SD ora calcolato potremmo valutare, applicando la 7), la componente della velocità del bersaglio secondo la congiungente bersaglio-sommergibile :

vt' = 1530 m/Sec. * 120 Hz / 2 * 5000 Hz = 18.36 m/Sec. pari a 35.6 nodi.