Geometria analitica (6°)
Calcolo punti di contatto tra due circonferenze: fissa e comunque disposta

1)Generalità
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

2)Algoritmi in V.B. per calcolo punti di contatto tra due circonferenze
Le coordinate dei punti di contatto tra due circonferenze, siano tangenti che secanti, si calcolano mediante la soluzione di un sistema di secondo grado che vede coinvolte l'equazioni delle due curve.
La soluzione del sistema menzionato presenta alcune difficoltà di manipolazione dei dati con il rischio di banali, ma deleteri, errori nel suo sviluppo.
Con l'aiuto del programma eseguibile che andiamo ad illustrare è possibile risolvere i problemi relativi a due circonferenze con estrema rapidità e sicurezza dei risultati.
La struttura del programma prevede la grafica e la soluzione del problema con riferimento al sistema delle due equazioni sotto riportate:

X^2 + Y^2 = Ro^2
X^2 + Y^2 + aX + bY + c = 0

La prima equazione è relativa ad una circonferenza con il centro nell'origine degli assi e raggio, "Ro", variabile secondo impostazione su P.C.
La seconda equazione è riferita ad una circonferenza definibile, secondo impostazioni su P.C, in due modi diversi:
Impostazione A: si introducono a calcolo i valori dei coefficienti a; b; c, in questo caso i coefficienti sono posti direttamente a calcolo per la soluzione del sistema.
Impostazione B: si introducono a calcolo i valori delle coordinate del centro Xc; Yc e del raggio "R". in questa impostazione i coefficienti a; b; c sono calcati sulla base di (Xc; Yc e R) e di seguito messi a calcolo.
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:

-coordinate centro : (Xc; Yc)

-calcolo dei coefficienti a; b; c dell'equazione del cerchio X^2 + Y^2 + aX + bY + c = 0 nel caso d'impostazione B:
a = -2 * Xc
b = -2 * Yc
c = ((Xc / 2) ^ 2) + ((Yc / 2) ^ 2) - R ^ 2

-soluzione del sistema di secondo grado:
z = a / b
Y = (-(Ro ^ 2) - c - a * x) / b
k1 = (-((Ro ^ 2) + c) / b)
Y = k1 - x * z
K2 = k1 ^ 2 + z ^ 2 * z ^ 2 - 2 * k1 * x * z
K2 = (1 + z ^ 2)
K3 = (-2 * k1 * z + a - b * z)
k4 = c + b * k1 + k1 ^ 2
If (K3 ^ 2 - (4 * K2 * k4)) < 0 : "nessun punto di contatto e salto delle 4 istruzioni seguenti."
xu1 = (-K3 + Sqr(K3 ^ 2 - (4 * K2 * k4))) / (2 * K2)
xu2 = (-K3 - Sqr(K3 ^ 2 - (4 * K2 * k4))) / (2 * K2)
yu1 = k1 - xu1 * z
yu2 = k1 - xu2 * z

-calcolo delle coordinate Xc; Yc del centro ed il raggio R nel caso d'impostazione A
Xc = -a / 2
Yc = -b / 2
R = Sqr((a / 2) ^ 2 + (b / 2) ^ 2 - c)

3)Come si presenta la schermata del file eseguibile
La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano:

-il tracciato cartesiano

-due sezioni per l'inserzione dati; "impostazione A" e "impostazione B"
ciascuna comprendente 5 TextBox ed un pulsante di comando.

Nella sezione A si possono inserire:
-i coefficienti a; b; c dell'equazione della circonferenza comunque posizionabile.
-il raggio Ro dell'equazione circonferenza con centro fisso.
-il valore di scala relativa al tracciato cartesiano

Nella sezione B si possono inserire:
-le coordinate Xc; Yc del centro ed il raggio R dell'equazione della circonferenza comunque posizionabile.
-il raggio Ro dell'equazione circonferenza con centro fisso.
-il valore di scala relativa al tracciato cartesiano

4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo sono proposti alcuni esercizi grafico numerici la cui risoluzione è basata sul file eseguibile (eserc.C2eq) .
Primo esercizio, "curve secanti", proposto da G. Zwirner, è relativo a due circonferenze definite dall'equazioni:

X^2 + Y^2 = 5 ; [ NB. Ro = sqr(5)= 2.236 ]
X^2 + Y^2 - 6 X - 2 Y + 5 = 0

Sull'area d'impostazione A si digitano i dati: a = -6 ; b = -2 ; c = 5 ; Ro = 2.236 ; scala uguale a 10 pari ad 1 unità/quadretto
La soluzione del problema porta al grafico ed ai valori illustrati in figura 2 secondo i quali risultano due punti di contatto tra le circonferenze, le cui coordinate sono:
p1( X1 = 2 ; Y1 = -1), p2( X2 = 1 ; Y2 = 2 )
La schermata mostra inoltre le seguenti coordinate del centro ed il raggio:
Xc = 3 ; Yc = 1 ; R = 2.24



Una volta presentati i dati questi possono essere cambiati e , dopo la pressione del pulsante calcolo ottenenere una presentazione completamente diversa.

Secondo esercizio, "curve secanti", si basa sull'impiego dell'area d'impostazione B nel caso in cui la circonferenza comunque posizionabile sia definita dalla coordinate del centro ed il raggio.
Se abbiamo:
per la prima circonferenza: X^2 + Y^2 = 25 (con Ro = 5)
per la seconda pc( Xc = -3 ; Yc = 5 ) ed R = 4.5
otteniamo il risultato illustrato in figura 3:



Terzo esercizio, "curve tangenti", si basa sull'impiego dell'area d'impostazione B nel caso in cui le due circonferenze siano definite da :
prima curva : X^2 + Y^2 = 12.25 ; [ NB. Ro = sqr(12.25)= 3.5 ]
seconda curva: pc( Xc = 5.1 ; Yc = 6.8 ) , R = 5
Il problema è risolto, secondo la figura 4, con i due punti di contatto coincidenti, condizione di tangenza tra le due curve: Xu1 = Xu2 = 2.1 e Yu1 = Yu2 = 2.8



Quarto esercizio, "curve interne", si basa sull'impiego dell'area d'impostazione A nel caso in cui le circonferenze abbiano equazioni:
X^2 + Y^2 = 36 (con Ro = 6)
X^2 + Y^2 - 6 X - 2 Y + 5 = 0
La grafica del problema, in figura 5, vede le due circonferenze interne l'una all'altra in ovvia assenza di coordinate di contatto (viene evidenziata in rosso la scritta "nessun punto di contatto" :



Quinto esercizio, "curve esterne", si basa sull'impiego dell'area d'impostazione B nel caso in cui le circonferenze siano definite da:
prima curva: X^2 + Y^2 = 4.84 (con Ro = 2.2)
seconda curva: pc( Xc = -5 : Yc = -3 ) , R = 3.1
La grafica del problema, in figura 6, vede le due circonferenze l'una esterna all'altra in ovvia assenza di coordinate di contatto (viene evidenziata in rosso la scritta "nessun punto di contatto" :

5)Note
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.