SONAR-INFO-p66
La frequenza ottimale nella scoperta idrofonica 1)Generalità 2)Definizione delle variabili di calcolo 4)Impostazione della derivata del DT 5)Calcolo delle derivate dei singoli addendi
La determinazione della frequenza ottimale (fos) nella scoperta delle sorgenti acustiche coinvolge
numerose variabili non sempre quantizzabili con precisione, perciò anche il valore di tale frequenza non
può essere calcolato con esattezza.
Nei casi di scoperta su distanze superiori ai 33 Km, quando è difficile la scelta migliore tra
le diverse le leggi che governano l'attenuazione per assorbimento, gli errori su (fos) possono essere
anche dell'ordine del 30 % .
Nonostante le difficoltà citate questo tipo di calcolo resta l'unico possibile per fornire
unn'idea sulla frequenza ottimale nella scoperta sonar; la determinazione di tale frequenza
è fattibile con due metodi diversi:
Tramite la procedura analitica
Tramite un processo grafico-numerico
Nella pagina presente svilupperemo entrambe le procedure di calcolo, dal paragrafo 2
al paragrafo 5 si tratterà dell'elaborazione analitica del DT (soglia di rivelazione)
per valutarne il valore massimo in funzione della frequenza, nel paragrafo 6 sarà mostrata una
procedura grafico numerica sostitutiva di quella analitica, in 7 si dimostrerà
matematicamente la validità della soluzione grafica.
Per il calcolo della frequenza ottimale di scoperta (fos) sono implicate
le due equazioni generali, già mostrate in P42, dalle quali esplicitare il DT.
Dato che il DT è dipendente dal rapporto segnale/disturbo, tanto più elevato sarà il
suo valore tanto migliore sarà la capacità di scoperta del sonar; ne segue che per un
particolare valore di frequenza (fos) si avrà il massimo del DT.
Date le due equazioni:
TL = SL + DI - NL - DT + 10 Log BW
TL = 60 dB + 20 Log R + a R
si legano come segue per la determinazione del DT:
SL + DI - NL - DT + 10 Log BW = 60 dB + 20 Log R + α R
da cui :
DT = SL + DI - NL + 10 Log BW - 60 dB - 20 Log R - α R 1)
Si tratta quindi di procedere alla ricerca del massimo della funzione in 1), tramite
la valutazione della sua derivata rapporto alla frequenza:
d(DT)/df
e risolvendo infine quest'ultima mediante l'equazione:
[d(DT)/df] = 0 .
3)Specificazioni sulle variabili della 1)
Prima di esaminare le variabili della 1) è necessario osservare la loro dipendenza
od indipendenza dalla frequenza :
-La larghezza di banda BW e gli addendi -60 dB - 20 Log R, sono indipendenti da f.
-Il DI e il termine αR sono dipendenti da f² ; crescono di 6 dB ad ogni raddoppiamento di f (pendenza di +6dB/ottava).
-SL ed NL sono dipendenti da 1/f² decrescono di 6 dB ad ogni raddoppiamento di f (pendenza di -6 dB/ottava).
Specifichiamo ora le variabili secondo le loro espressioni logaritmiche (e non) in cui f è
espressa in KHz ed R in Km:
SL = 10 Log [ (1/K1²) / f²] dove (1/K1²) è una costante
NL = 10 Log [ (1/K2²) / f²] dove (1/K2²) è una costante
DI = 10 Log ( K3² x f²) dove K3² è una costante
α R = 0.01 x f² x R (attenuazione per assorbimento)
Il calcolo della derivata del DT rapporto alla frequenza, è così impostato:
d(DT)/df = d[ SL + DI - NL + 10 Log BW - 60 dB - 20 Log R - α R ] / df
essendo la derivata di una somma algebrica possiamo scrivere:
d(DT)/df = d(SL)/df + d(DI)/df - d(NL)/df + d(10 Log BW)/df + d( -60 dB -20 Log R)/df - d(α R)/df
nella quale si possono eliminare le derivate nulle delle variabili indipendenti da f ottenendo:
d(DT)/df = d(SL)/df + d(DI)/df - d(NL)/df - d(α R)/df
Nel paragrafo successivo la procedura di calcolo delle derivate dei singoli addendi.
Per il calcolo delle derivate dei singoli addendi è utile sviluppare le funzioni
logaritmiche come segue:
-per NL = 10 Log [ (1/K2²) / f²] = 20 Log [1 / (K2 f)]
-per DI = 10 Log ( K3² x f²) = 20 Log (K3 f)
-per α R = 0.01 x f² x R
trasformandole poi da logaritmiche a base 10 a logaritmiche a base e secondo l'uguaglianza:
Log(x) = Log(e) Ln(x) = 0.434 Ln(x) otteniamo:
-per SL = 8.68 Ln [1 / (K1 f)]
-per NL = 8.68 Ln [(1/ (K2 f)]
-per DI = 8.68 Ln (K3 f)
-per α R = 0.01 x f² x R
Ricordando che drf Ln [f(x)] = [1 / f(x)] f'(x) si ha:
Calcolo di drf (SL) :
drf 8.68 Ln [1 / (K1 f)] = 8.68 ( k1 f) (- 1 / k1 f²) = -8.68 / f
Calcolo di drf (NL) :
drf 8.68 Ln [1 / (K2 f)] = 8.68 ( k2 f) (- 1 / k2 f²) = -8.68 / f
Calcolo di drf (DI) :
drf 8.68 Ln [K3 f)] = 8.68 (1 / k3 f) (k3 f&) = 8.68 / f
Calcolo di drf α R :
drf 0.01 x f² x R = 0.02 f R
Componendo la somma delle quattro derivate abbiamo:
drf DT = (-8.68 / f) - (-8.68 / f) + (8.68 / f) - 0.02 f R = (8.68 / f) - 0.02 f R
Il massimo del DT per il quale si ricava la frequenza ottimale si ottiene ponendo drf DT = 0:
(8.68 / f) - 0.02 f R = 0
che risolta in f da:
f = √ ( 434 / R ) 2)
dove f è in KHz ed R in Km.
L'espressione 2), che risolve il problema, mostra come la frequenza ottimale fos dipenda dalla distanza R della sorgente acustica; ad ogni valore di R corrisponde pertanto una determinata frequenza ottimale.
Se ad esempio:
R = 40 Km il valore ottimale della frequenza di ricezione fos è: f = 3.3 KHz.
R = 80 Km il valore ottimale della frequenza di ricezione fos è: f = 2.3 KHz.
6)Determinazione grafica della frequenza fos 7)Dimostrazione analitica del processo grafico
La valutazione della frequenza ottimale è possibile anche con un semplice metodo grafico
numerico che, rispetto al procedimento analitico, ha il vantaggio di poter impiegare
qualsivoglia legge di calcolo per l'attenuazione per assorbimento.
La parte numerica si elabora secondo l'equazione già richiamata al paragrafo 2) :
TL = 60 dB + 20 Log R + 0.01 f² R
I valori di TL si ottengono sotto forma di tabella per R = costante ed f variabile.
Nel nostro esempio realizzeremo due tabelle:
una per R costante = 40 Km ed f variabile a passi di 1 KHz
l'altra per R costante = 100 Km ed f variabile a passi di 1 KHz.
I dati delle due tabelle si riportano per punti su di un sistema di coordinate
logaritmico lineari, le distanze tra i punti si raccordano al meglio ; in ascisse la
frequenza in KHz ed in ordinate il valore di TL in dB così come mostra la figura 1.
Nel grafico è tracciata in rosso una retta fissa con pendenza 6 dB/ottava; da questa si
tracciano due parallele come tangenti alle due curve, nei punti di tangenza si leggono
in ascisse i rispettivi valori della frequenza ottimale;
per R = 40 Km f = 3 KHz --- per R = 100 Km f = 2 KHz.
Se paragoniamo i valori ricavati con questa procedura con quelli calcolabili con la
formula ottenuta per via analitica riscontriamo, a causa delle inevitabili imprecisioni del
grafico, un errore inferiore al 10 %:
-processo analitico: per R = 40 Km f = 3.2 KHz --- per R = 100 Km f = 2.1 KHz.
-processo grafico: per R = 40 Km f = 3 KHz --- per R = 100 Km f = 2 KHz
La dimostrazione di cui al titolo deve acclarare che, nel grafico di paragrafo 6,
l'ascissa f del punto di tangenza tra le due curve massimizza il DT così come la f
determinata con la 2) di paragrafo 5.
Per l'esame prendiamo in considerazione le due funzioni tracciate nel grafico:
-funzione d'attenuazione: TL = 60 dB + 20 Log R + 0.01 f² R
-retta rossa (pendenza + 6 dB / ottava): Y = 10 Log f² = 20 Log f
d(TL)/df = d (Y)/df
Sviluppiamo le due derivate rapporto ad f:
d(TL)/df = d(60 dB + 20 Log R + 0.01 f² R)/df = 0.02 f R
d (Y)/df = d (20 Log f)/df = 20 d (0.434 Ln f)/df = 8.68 / f
scriviamo la loro uguaglianza:
0.02 f R = 8.68 / f
risolviamo la nuova equazione in f per la determinazione dell'ascissa del punto di tangenza:
f = √ [ 8.68 / ( 0.02 R )] = √ (434 / R) 3)
A questo punto è immediato il confronto tra la 2) e la 3); le due formule sono identiche a
dimostrare che le ascisse f risultanti dal processo grafico, salvo le inevitabili imprecisioni
dovute al disegno, sono le stesse che massimizzano il DT nel processo analitico.
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