Geometria analitica (10°)
Relazioni tra parabola con asse orizzontale e punti

1)Generalità
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

2)Algoritmi in V.B. per calcolo dell'equazione di una parabola con asse orizzontale passante per tre punti.
L'equazione della parabola in oggetto, definita dalla funzione: X = ao Y^2 + bo Y + co, si ottiene con il calcolo dei coefficienti ao; bo; co mediante la soluzione di un sistema di primo grado a tre incognite che vede coinvolta per tre volte l'equazione della curva. La soluzione del sistema menzionato presenta sensibili difficoltà di manipolazione dei dati con il rischio di banali, ma deleteri, errori nel suo sviluppo.
Con l'aiuto del programma eseguibile che andiamo ad illustrare è possibile risolvere i problemi relativi alla parabola con asse orizzontale passante per tre punti.
La struttura del programma prevede la grafica e la soluzione del problema con riferimento alle coordinate dei tre punti noti:

p1(X1; Y1)     p2(X2; Y1)    p3(X3; Y3)

secondo il sistema:

X1 = ao Y1^2 + bo Y1 + co
X2 = ao Y2^2 + bo Y2 + co
X3 = ao Y3^2 + bo Y3 + co


Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:

-coordinate dei punti : p1(X1; Y1)     p2(X2; Y1)    p3(X3; Y3)

-la soluzione del sistema in ao; bo; co; :

X1 = ao Y1^2 + bo Y1 + co
X2 = ao Y2^2 + bo Y2 + co
X3 = ao Y3^2 + bo Y3 + co

k1 = -(Y1 ^ 2)
k2 = -(Y2 ^ 2)
k3 = -(Y3 ^ 2)
d1 = X1 * Y2 + Y1 * X3 + X2 * Y3
d2 = Y2 * X3 + X1 * Y3 + Y1 * X2
delta = d1 - d2
da1 = k1 * Y2 + k3 * Y1 + k2 * Y3
da2 = k3 * Y2 + k1 * Y3 + k2 * Y1
deltaa = da1 - da2
db1 = X1 * k2 + k1 * X3 + k3 * X2
db2 = k2 * X3 + k3 * X1 + k1 * X2
deltab = db1 - db2
dc1 = X1 * Y2 * k3 + Y1 * k2 * X3 + k1 * X2 * Y3
dc2 = k1 * Y2 * X3 + X1 * k2 * Y3 + Y1 * X2 * k3
deltac = dc1 - dc2
A = deltaa / delta
B = deltab / delta
C = deltac / delta
ao = - (1 / A)
bo = - (B / A)
co = - (C / A)

-quìndi l'equazione della parabola con l'asse orizzontale:
ao Y^2 + bo Y + co - X = 0

3)Come si presenta la schermata del file eseguibile
La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano:

-il tracciato cartesiano
-la sezione per l'inserzione delle coordinate dei tre punti su 6 TextBox.
-il pulsante per la presentazione grafica dei soli tre punti
-il pulsante per la presentazione grafica della parabola passante per i punti dati
-la casella per l'inserimento del valore di scala relativo al tracciato cartesiano

4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo è proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile (eserc.P3po) .
A complemento dell'esercizio sono esposte alcune osservazioni sul comportamento di (eserc.P3p).
L' esercizio è relativo al calcolo dell' equazione di una parabola passante per i punti:
p1(X1 = 3; Y1 = -4)     p2(X2 = -2; Y1 = -6)    p3(X3 = 6 ; Y3 = -1).
Una volta digitate le coordinate dei tre punti e stabilito il valore di fondo scala = 10, cliccando sul pulsante " Traccia i punti" nel reticolo cartesiano compaiono i tre punti nei rispettivi colori p1 (rosso), p2 (blu), p3 (verde).
Con la successiva pressione di "Parabola" si completa la grafica e sullo schermo,
sotto l'indicazione della funzione X = ao Y^2 + bo Y + co , compaiono i relativi coefficienti:
ao = - 0.3 ; bo = - 0.5 ; co = 5.8.
La grafica finale è visibile in figura 2:



-Oss. 1- se le coordinate dei punti li pongono secondo una retta i punti compaiono nel grafico ma, ovviamente, la parabola non è tracciabile.
-Oss. 2- se due punti hanno lo steso valore d'ordinata gli stessi compaiono sul reticolo cartesiano ma la curva non è tracciabile.

5)Note
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.