Geometria analitica (18°)
Le tangenti all' ellisse con centro nell'origine degli assi

1)Generalità
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

2)Algoritmi in V.B. per le tangenti all'ellisse con il centro sull'origine degli assi
Quando le coordinate del centro dell'ellisse sono coincidenti con l'intersezione degli assi cartesiani di riferimento si ha il caso più semplice per la soluzione dei problemi tra rette e conica.
In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, il tracciamento di una data ellisse di fuochi F1 = c; F2 = -c e centro in P(Xc = 0 ; Yc = 0) e la costruzione delle tangenti passanti per un punto esterno Po (xo; yo).
Il programma scrive inoltre l'equazioni delle due rette tangenti e visualizza le coordinate dei punti di tangenza.
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:

-equazione dell'ellisse con centro all'origine degli assi:
((X^2) / (a^2) ) + ((Y^2) / (b^2) ) = 1

-equazione dell'ellisse con l'esplicitazione di Y:
Y = +/- ( b / a) * Sqr ( a^2 - x^2 )

-coordinate dei fuochi : F1 (X1 = c; Y1 = 0) ; F2 (X2 = -c; Y2 = 0)

-coordinate dei punti di intersezione asse X : P1 (X3 = a; Y3 = 0) ; P2 (X4 = -a; Y4 = 0)

-coefficiente b: b = sqr( a^2 - c^2)

-coordinate del punto di passaggio rette tangenti: Po (xo; yo)

-equazione rette Y = m1 X + n1 e Y = m2 X + n2, tangenti all'ellisse
ottenute con la computazione di m1 e m2 secondo le funzioni:
p = 2 * xo * yo
d = (a ^ 2 - xo ^ 2)
g = (b ^ 2 - yo ^ 2)
m1 = (-p + Sqr(p ^ 2 - 4 * d * g)) / (2 * d)
m2 = (-p - Sqr(p ^ 2 - 4 * d * g)) / (2 * d)
n1 = m1 * xo + yo
n2 = m2 * xo + yo

-calcolo delle coordinate dei punti di tangenza Pt1(xt1; yt1) e Pt2(xt2; yt2)
con la soluzione dei sistemi:
Y = +/- ( b / a) * Sqr ( a^2 - x^2 )
Y = m1 X + n1

Y = +/- ( b / a) * Sqr ( a^2 - x^2 )
Y = m2 X + n2,

3)L'impiego del file eseguibile
Il file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano il tracciato cartesiano e 5 caselle d'immissione dati con un pulsante d'avvio "Calcolo".
Nelle caselle "xo" e "yo" si devono digitare i valori delle coordinate del punto di passaggio delle tangenti.
Nella caselle "F" l'ascissa "c" dei fuochi
Nella casella "a" l'ascissa del punto di contatto dell'ellisse con l'asse x
Nella casella "Scala" il valore da assegnare al fondo scala del reticolo affinché possa contenere il tracciato completo: ellisse più tangenti.
Sotto la scritta " Equazioni delle tangenti " vengono presentate in forma esplicita le due equazioni calcolate.
Sono inoltre presentate in forma numerica le coordinate dei punti di tangenza:
Pt1(xt1; yt1) e Pt2(xt2; yt2)

4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo viene proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile (eserc.ellT) .
La soluzione del problema classico, sull'ellisse e le tangenti passanti per un punto esterno all'ellisse, viene sviluppata in una frazione di minuto quando, altrimenti, il tempo di sviluppo potrebbe richiedere molto più lavoro.
Se ipotizziamo la ricerca delle rette passanti per Po(xo = -4; yo = 5) e tangenti ad una ellisse di centro nell'origine degli assi, con: F1 = c = +7; F2 = - c = -7; a = 8
una volta inseriti i dati nelle apposite caselle della schermata di (eserc.ellT), con valore di fondo scala uguale a 10, otteniamo i seguenti dati come mostrato in figura 3:

-tangente blu: Y = 1.03 X + 9.14
-tangente rossa: Y = - 0.2 X + 4.19
-coordinate punti di tangenza
Xt1 = -7.25; Yt1 = + 1.64
Xt2 = +3.07; Yt2 = + 3.58

5)Limitazioni
Un problema simile a quello trattato in precedenza non può essere sviluppato quando:
-il punto Po è interno all'ellisse
-l'ascissa xo del punto Po è: |xo| = |a|
-l'ordinata yo del punto Po è: |yo| = |b|
dove b = Sqr(a ^ 2 - c ^ 2)
Pur con le limitazioni indicate il programma traccia sempre l'ellisse e il punto Po.

6)Note
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.