Geometria analitica (19°)
Grafica ed equazione dell'ellisse passante per due punti

1)Generalità
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

2)Algoritmi in V.B. per l'equazione dell'ellisse passante per due punti
Quando le coordinate del centro dell'ellisse sono coincidenti con l'intersezione degli assi cartesiani di riferimento si ha il caso più semplice per la costruzione dell'equazione della conica passante per due punti.
In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, la formulazione dell'equazione e il tracciamento di un'ellisse passante per i punti: P1(X1; Y1) e P2(X2; Y2).
Il programma scrive inoltre l'equazione dell'ellisse e visualizza le coordinate del fuoco.
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:

-dichiarazione coordinate punti di passaggio:
x1
y1
x2
y2

-equazione dell'ellisse:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

- sostituzione variabili:
U = 1 / a^2
V = 1 / b^2

-soluzione in "U" e "V" del sistema:
x1^2 * U + y1^2 * V = 1
x2^2 * U + y2^2 * V = 1

-computo dei quadrati delle coordinate dei due punti:
p = X1 ^ 2
q = Y1 ^ 2
r = X2 ^ 2
s = Y2 ^ 2

-questa la soluzione del sistema:
V = (p - r) / (s * p - q * r)
U = (s - q) / (s * p - q * r)

-computo di "a" ; "b" e del Fuoco "c"
a = Sqr(1 / U)
b = Sqr(1 / V)
c = Sqr(a ^ 2 - b ^ 2)

-funzioni per la grafica dell'ellisse:
C1 = Sqr(((a ^ 2 * b ^ 2) - (b ^ 2 * x ^ 2))) / a
C2 = -Sqr(((a ^ 2 * b ^ 2) - (b ^ 2 * x ^ 2))) / a

3)Limitazioni
Generalmente l'esercizio relativo alla costruzione dell'equazione dell'ellisse passante per due punti viene proposto partendo dalla conoscenza delle coordinate di due punti che già, per esercizi condotti su un'equazione nota dell'ellisse, consentono di conoscere le coppie di essi che giacciono con certezza sulla curva; con queste coppie viene poi posto il problema della determinazione dell'equazione dell'ellisse che, naturalmente, sarà come quella di partenza studiata da colui che ha posto il problema.
Il lavoro svolto in questa pagina, invece, non parte dalla verifica a priori che i punti di passaggio facciano con certezza parte di una conica già studiata ma, con le limitazioni che vedremo, detti punti generano un'equazione dell'ellisse non conosciuta a priori.
Date le caratteristiche intrinseche dell'ellisse con il centro nell'origine degli assi questa non può passare, contemporaneamente, per due punti qualsiasi presi a caso; se ad esempio si pensa di disporre i due punti
P1 ( X1; Y1) e P2( X2; Y2), nel primo quadrante la costruzione dell'equazione canonica e la tracciabilità della conica è assolutamente subordinata alle seguenti limitazioni:
DEVE SEMPRE ESSERE X1 > X2 e Y1 < Y2 quando con P1 s'intende il punto più lontano dall'asse delle ordinate.
Ad esempio se si pone P1( X1 = 3; Y1 = 5 ) P2 non può che avere ( X2 < 3 ; Y2 > 5)
Per l'eventuale disposizione dei punti negli altri quadranti le condizioni di disuguaglianza sopra indicate non sono più valide e, quadrante per quadrante, devono essere riformulate.
Per evitare la tediosa riformulazione delle disuguaglianze vengono in aiuto le proprietà di simmetria dell'ellisse che consentono di trasportare qualsiasi punto di questa nel suo simmetrico giacente nel primo quadrante del piano cartesiano; a tal punto si adottano ancora i criteri di disuguaglianza sopra indicati, ad esempio:
la coppia p1(x1 = - 3; y1 = 5) p2(x2 = - 2; y2 = 7), nel quarto quadrante, corrisponde, per simmetria, alla coppia disposta nel primo quadrante:
p1'(x1' = 3; y1' = 5) p2'(x2' = 2; y2' = 7)
per le quali è valida la disuguaglianza X1 > X2 e Y1 < Y2 -vedi figura 1-



un secondo esempio:
la coppia p1(x1 = - 8; y1 = -2) p2(x2 = - 3; y2 = -4) disposta nel terzo quadrante corrisponde, per simmetria, alla coppia disposta nel primo quadrante
p1'(x1' = 8; y1' = 2) p2'(x2' = 3; y2' = 4)
per le quali è valida la disuguaglianza X1 > X2 e Y1 < Y2 -vedi figura 2-



un terzo ed ultimo esempio:
la coppia p1(x1 = 3.6; y1 = -2.7) p2(x2 = 3; y2 = -5.2) disposta nel secondo quadrante corrisponde, per simmetria, alla coppia disposta nel primo quadrante
p1'(x1' = 3.6; y1' = 2.7) p2'(x2' = 3; y2' = 5.2)
per le quali è valida la disuguaglianza X1 > X2 e Y1 < Y2 -vedi figura 3-



Una volta quindi che per qualsiasi coppia di coordinate sia stata trovata la simmetria con il primo quadrante, se è valida la disuguaglianza: X1 > X2 e Y1 < Y2
si potrà utilizzare la routine di calcolo di cui al punto 2).

4)L'impiego del file eseguibile
Il file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 4, in essa s'individuano il tracciato cartesiano e 5 caselle d'immissione dati con un pulsante d'avvio "Calcolo".
Nelle caselle "x1" ; "y1" e "x2" ; "y2" si devono digitare i valori delle coordinate dei punti di passaggio dell'ellisse ( si notino i segni > e < tra le caselle ).
Nella casella "Scala" il valore da assegnare al fondo scala del reticolo affinché possa contenere il tracciato completo della conica
Sotto la scritta " Equazione dell'ellisse " viene presentata l'equazione canonica dell'ellisse computata dalla routine
Sono inoltre presentate in forma numerica le coordinate del Fuoco:

5)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo viene proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile (eserc.ell2p) .
La soluzione del problema classico sull'ellisse e due dei suoi punti di passaggio viene sviluppato in una frazione di minuto quando, altrimenti, il tempo di sviluppo potrebbe richiedere molto più lavoro.
Ipotizziamo la determinazione dell'equazione canonica di una ellisse passante per:
P1(x1 = -7; y1 = -2) e P2(x2 = -4; y2 = -5), collocati nel terzo quadrante.
Si traslano i punti dal terzo quadrante al primo, si veda figura 5,:
P1'(x1 = 7; y1 = 2) e P2'(x2 = 4; y2 = 5).
Si verificata la disuguaglianza X1 > X2 e Y1 < Y2 che in questo caso è volutamente nei termini.



S'inseriscono le coordinate nelle apposite caselle e, una volta fissato il valore di scala, in questo caso uguale a 10, dopo la pressione del pulsante di calcolo si ha la schermata di figura 6:



Dalla schermata si evince;
-equazione canonica dell'ellisse : X^2 / 55.2857 + Y^2 / 35.1818 = 1
-coordinate del fuoco: F = ( +/- 4.4837 ; 0)
-il grafico della conica mostra tutti i punti simmetrici rispetto alla coppia data.

6)Note
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.