Geometria analitica (20°)
Grafica ed equazione dell'ellisse traslata

1)Generalità
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

2)Algoritmi in V.B. per l'equazione dell'ellisse traslata
L'equazione dell'ellisse traslata è la trasformazione dell'equazione di un'ellisse "base" con il centro nell'origine degli assi e coefficienti "a"; "b", in una diversa funzione dipendente dalle coordinate xo; yo del nuovo centro voluto per la nuova conica.
In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, la formulazione dell'equazione dell'ellisse traslata e il tracciamento di questa e dell'ellisse "base".
Il programma scrive l'equazione dell'ellisse e visualizza le coordinate del fuoco di entrambe le coniche dopo l'inserzione di "a"; "b" della conica "base" e di xo; yo per la conica traslata.
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:

-dati d'ingresso:
xo
yo
a
b

-equazione dell'ellisse "base":
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

-funzioni per la grafica dell'ellisse "base":
C1 = Sqr(((a ^ 2 * b ^ 2) - (b ^ 2 * x ^ 2))) / a
C2 = -Sqr(((a ^ 2 * b ^ 2) - (b ^ 2 * x ^ 2))) / a

- sostituzione variabili:
U = 1 / a^2
V = 1 / b^2

-computo del Fuoco "c" ellisse di "base"
c = Sqr(a ^ 2 - b ^ 2)

-equazione dell'ellisse traslata
A * X^2 + B * Y^2 + C * X + D * Y + E = 0

-calcolo dei coefficienti:
A = U
B = V
C = -2 * U * xo
D = -2 * V * yo
E = U * xo ^ 2 + V * yo ^ 2 - 1

-funzioni per la grafica dell'ellisse traslata
K1 = U * x ^ 2 - 2 * U * x * xo + U * xo ^ 2 + V * yo ^ 2 - 1
k2 = -2 * yo * V
yt = (-k2 + Sqr(Abs(k2 ^ 2 - 4 * V * K1))) / (2 * V)
yt1 = (-k2 - Sqr(Abs(k2 ^ 2 - 4 * V * K1))) / (2 * V)

-computo del Fuoco ellisse traslata "cft"
cft1 = (c + xo)
cft2 = (-c + xo)
cft3 = (c + yo)
cft4 = (-c + yo)

3)L'impiego del file eseguibile
Il file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano il tracciato cartesiano e 5 caselle d'immissione dati con un pulsante d'avvio "Calcolo".
Nelle caselle "a" ; "b" si devono digitare i valori dei coefficienti dell'ellisse "base".
Nelle caselle "xo" ; "yo" si devono digitare i valori delle coordinate del centro voluto per l'ellisse traslata.
Nella casella "Scala" il valore da assegnare al fondo scala del reticolo affinché possa contenere il tracciato completo della conica
Sotto la scritta " Equazione dell'ellisse base " viene presentata l'equazione canonica dell'ellisse computata dalla routine
Sotto la scritta " Equazione dell'ellisse traslata " viene presentata l'equazione in forma letterale e la serie dei cinque coefficienti letterali che ne fanno parte.
Per entrambe le coniche sono presenti i valori delle coordinate dei fuochi.

4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo viene proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile (eserc.ellT) .
Ipotizziamo la traslazione di un'ellisse di " base" ,definita con i coefficienti:
a = 6 ; b= 2
nella sua traslata nel nuovo centro di coordinate:
xo = -3; yo =5
S'inseriscono i coefficienti e le nuove coordinate del centro nelle apposite caselle e, una volta fissato il valore di scala, in questo caso uguale a 10, dopo la pressione del pulsante di calcolo si ha la schermata di figura 2:



Dalla schermata si evince;
-equazione canonica dell'ellisse "base" : X^2 /36 + Y^2 / 4 = 1

-coordinate del fuoco: F = ( +/- 5.6569 ; 0)

-equazione canonica dell'ellisse traslata
0.0278 X^2 + 0.25 Y^2 + 0.1667 X - 2.5 Y + 5.5 = 0

-coordinate dei fuochi: F1 = (2.6569 ; yo) F2 ( -8.6569 ;yo)

5)Controllo dell'equazione dell'ellisse traslata
Dato che i coefficienti dell'equazione dell'ellisse traslata sono composti da numeri decimali a molte cifre è utile eseguire un controllo per verificare che la copiatura dei valori forniti dal calcolo sia esatta.
Un esempio per tutti partendo dall'equazione già trovata nel par. 4):
0.0278 X^2 + 0.25 Y^2 + 0.1667 X - 2.5 Y + 5.5 = 0
Sostituendo in x ed in y di questa due valori, appartenenti naturalmente all'ellisse, quali:
x = xo = -3
y = yo + b = 5 + 2 = 7
si verifica come l'uguaglianza sia valida dato che mostra un valore molto prossimo allo zero;
0.0278 (-3)^2 + 0.25 (7)^2 + 0.1667 (-3) - 2.5 (7) + 5.5 = 0.0001
l' approssimazione e dovuta ala presenza di decimali arrotondati.

6)Note
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.