Geometria analitica (21°)
L' iperbole con centro nell'origine degli assi e le sue tangenti

1)Generalità
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

2)Algoritmi in V.B. per l'iperbole con il centro sull'origine degli assi e le sue tangenti
Quando le coordinate del centro dell'iperbole sono coincidenti con l'intersezione degli assi cartesiani di riferimento si ha il caso più semplice per la soluzione del problema relativo alle sue rette tangenti.
In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, il tracciamento di una data iperbole di fuochi " F1 = c "; " F2 = -c ", centro in " P(Xc = 0 ; Yc = 0)" e intersezione con l'asse delle ascisse in " +/- a " con la costruzione delle sue tangenti.
Il programma scrive inoltre l'equazioni delle due rette in gioco.
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:

-relazione di base:
b = Sqr(c ^ 2 - a ^ 2)
-equazione dell'iperbole con centro all'origine degli assi:
((X^2) / (a^2) ) - ((Y^2) / (b^2) ) = 1
-equazione dell'iperbole con l'esplicitazione di Y:
Y = +/- ( b / a) * Sqr ( x^2 - a^2 )
-funzioni per la grafica dell'iperbole:
k = x ^ 2 - a ^ 2
C1 = (b / a) * Sqr(k)
C2 = -(b / a) * Sqr(k)
-coordinate dei fuochi : F1 (X1 = c; Y1 = 0) ; F2 (X2 = -c; Y2 = 0)
-coordinate dei punti di intersezione asse X : P1 (X3 = a; Y3 = 0) ; P2 (X4 = -a; Y4 = 0)
-ascissa dei punti di tangenza : xo
-equazione rette Y = m1 X + n1 e Y = m2 X + n2, tangenti all'iperbole nei punti
P1(Xo;Yo) e P2(-Xo, Yo) ottenute con la computazione di m1 e m2 secondo la derivata prima di
Y = +/- ( b / a) * Sqr ( x^2 - a^2 ):
Y' = -/+ ( b / a ) * x / Sqr ( x^2 - a^2 )
-calcolo delle tangenti:
k = xo ^ 2 - a ^ 2
yo = (b / a) * Sqr(k)
m1 = ((b / a) * xo) / Sqr(Abs(xo ^ 2 - a ^ 2))
n1 = -m1 * xo + yo
m2 = -((b / a) * xo) / Sqr(Abs(xo ^ 2 - a ^ 2))
n2 = n1
yt1 = m1 * x - m1 * xo + yo
yt2 = -m1 * x - m1 * xo + yo

3)L'impiego del file eseguibile
Il file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano il tracciato cartesiano e 4 caselle d'immissione dati con un pulsante d'avvio "Calcolo".
Nella casella "xo" si deve digitare il valore dell'ascissa del punto di tangenza voluto.
Nella caselle "F" l'ascissa dei fuochi
Nella casella "a" l'ascissa del punto di contatto dell'iperbole con l'asse x
Nella casella "Scala" il valore da assegnare al fondo scala del reticolo affinché possa contenere il tracciato completo: ellisse più tangenti.
Sotto la scritta " Equazioni delle tangenti " vengono presentate in forma esplicita le due equazioni calcolate.
Sono inoltre presentate in forma numerica le coordinate dei punti caratteristici: Xo; Yo e -Xo; Yo



Per ben evidenziare le variabili utilizzate queste sono riportate nel grafico espanso di figura 2

4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo
In questo paragrafo viene proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile (eserc.ipertan) .
La soluzione del problema classico, sull'iperbole e le sue tangenti, viene sviluppata in una frazione di minuto quando, altrimenti, il tempo di sviluppo potrebbe richiedere molto più lavoro.
Se ipotizziamo la ricerca delle tangenti proprie ad un' iperbole di centro nell'origine degli assi, con: F1 = +7; F2 = -7; a = 4 nel punto di ascissa xo = -5.7
una volta inseriti i dati nelle apposite caselle della schermata di (eserc.ipertan), con valore di fondo scala uguale a 10, otteniamo i seguenti dati come mostrato in figura 3:

-equazione dell'iperbole: X^2/16 - Y^2/32.94 = 1
-tangente blu: Y = 2.02 X - 5.66
-tangente rossa: Y = - 2.02 X - 5.52
-coordinate punti di tangenza
Xo = -5.7; Yo = + 5.83
Xo = 5.7; Yo = + 5.83

5)Osservazioni
A- Dato che la conica presa in esame è simmetrica nei quattro quadranti, alle ascisse +/- xo corrispondono quattro valori simmetrici di yo, ovvero quattro tangenti proprie della curva.
Di dette tangenti la routine utilizzata ne presenta soltanto due, per i punti dell'ellisse, giacenti nel primo e nel quarto quadrante; ciò per non appesantire la grafica sul video.

B- La routine di calcolo non consente il tracciamento dell'iperbole se s'imposta xo < a.

C- Per ottenere l'iperbole equilatera deve essere, come è noto, a = b, ovvero, essendo
b = √(c ² - a ²), si possono inserire a calcolo le due variabili "a" ed "F = c" della conica secondo il rapporto
F / a = √(2)

6)Note
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.